في النهاية ستتمكن من
- تبسيط جداء تعابير أسية.
- حل معادلة باستعمال ln.
- دراسة إشارة مشتقة.
قبل أن تبدأ
الاشتقاق واللوغاريتم النيبيري.
افهم
الخواص
لكل عدد حقيقي x، لدينا exp(x)=eˣ وهي موجبة قطعاً. كما أن e⁰=1 وeᵃeᵇ=eᵃ⁺ᵇ وe⁻ᵃ=1/eᵃ.
المعادلات
الدالة exp تزايدية قطعاً. لذلك تكافئ exp(u)=exp(v) المعادلة u=v. إذا كان k موجباً، فإن exp(u)=k تكافئ u=ln(k). إذا كان k صفراً أو سالباً فلا يوجد حل.
الاشتقاق
إذا كانت u قابلة للاشتقاق على مجال، فإن (exp(u))′=u′ exp(u). وبما أن exp(u) موجبة، فإن إشارة المشتقة هي إشارة u′.
مثال محلول خطوة بخطوة
ادرس تغيرات f(x)=(x+2)exp(−x) على ℝ.
- نشتق الجداء فنحصل على f′(x)=exp(−x)−(x+2)exp(−x).
- بعد التفكيك نجد f′(x)=−(x+1)exp(−x).
- العامل الأسي موجب، لذا تكون المشتقة موجبة قبل −1 وسالبة بعده.
- تتزايد f ثم تتناقص، وقيمتها القصوى f(−1)=e.
حان دورك
تمرين 1
حل exp(2x−1)=5.
تلميح
طبّق ln على الطرفين.
عرض التصحيح
لدينا 2x−1=ln(5)، ومنه x=(1+ln(5))/2.
تمرين 2
حل exp(x²)≤exp(4).
تلميح
قارن الأسين.
عرض التصحيح
بما أن الدالة الأسية تزايدية، فإن x²≤4، ومنه x∈[−2,2].
تمرين 3
ادرس g(x)=exp(x²−2x).
تلميح
فكّك المشتقة إلى جداء.
عرض التصحيح
لدينا g′(x)=2(x−1)exp(x²−2x). تتناقص g قبل 1 وتتزايد بعده، وقيمتها الدنيا e⁻¹.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تخلط بين eᵃ⁺ᵇ وeᵃ+eᵇ.
- لا تنس العامل u′ عند اشتقاق الدالة المركبة.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.