À la fin, vous saurez
- Simplifier des produits d’exponentielles.
- Résoudre une équation avec ln.
- Étudier le signe d’une dérivée.
Avant de commencer
Dérivation et logarithme népérien.
Comprendre
Propriétés
Pour tout réel x, exp(x)=eˣ est strictement positive. On a e⁰=1, eᵃeᵇ=eᵃ⁺ᵇ et e⁻ᵃ=1/eᵃ.
Équations
La fonction exp est strictement croissante. Ainsi exp(u)=exp(v) équivaut à u=v. Pour k positif, exp(u)=k équivaut à u=ln(k). Pour k nul ou négatif, il n’y a aucune solution.
Dérivation
Si u est dérivable sur un intervalle, (exp(u))′=u′ exp(u). Comme exp(u) est positive, cette dérivée a le signe de u′.
Exemple guidé
Étudier les variations de f(x)=(x+2)exp(−x) sur ℝ.
- Dériver le produit : f′(x)=exp(−x)−(x+2)exp(−x).
- Factoriser : f′(x)=−(x+1)exp(−x).
- Le facteur exponentiel est positif. La dérivée est positive avant −1 et négative après −1.
- f croît puis décroît. Son maximum est f(−1)=e.
À vous de jouer
Exercice 1
Résoudre exp(2x−1)=5.
Un indice
Appliquer ln aux deux membres.
Voir la correction
2x−1=ln(5), donc x=(1+ln(5))/2.
Exercice 2
Résoudre exp(x²)≤exp(4).
Un indice
Comparer les exposants.
Voir la correction
Par croissance, x²≤4, donc x∈[−2,2].
Exercice 3
Étudier g(x)=exp(x²−2x).
Un indice
Factoriser la dérivée.
Voir la correction
g′(x)=2(x−1)exp(x²−2x). g décroît avant 1 et croît après 1. Son minimum est e⁻¹.
Les erreurs à éviter
- Ne pas confondre eᵃ⁺ᵇ et eᵃ+eᵇ.
- Ne pas oublier le facteur u′ dans la dérivée composée.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars Maroc. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.