في النهاية ستتمكن من
- تحديد مجال تعريف ln(u).
- حل معادلة لوغاريتمية.
- حساب مشتقة ln(u).
قبل أن تبدأ
الدالة الأسية والمتراجحات والاشتقاق.
افهم
ابدأ بمجال التعريف
اللوغاريتم النيبيري هو الدالة العكسية للدالة الأسية. يكون ln(x) معرّفاً فقط عندما يكون x موجباً قطعاً. لدينا ln(1)=0 وln(e)=1.
الحساب والمقارنة
إذا كان a وb موجبين قطعاً، فإن ln(ab)=ln(a)+ln(b) وln(a/b)=ln(a)−ln(b). الدالة ln تزايدية قطعاً، لذا ترتيب اللوغاريتمات هو ترتيب أعدادها.
اشتقاق دالة مركبة
على مجال تكون فيه u قابلة للاشتقاق وموجبة قطعاً، لدينا (ln(u))′=u′/u. إشارة المشتقة هي إشارة البسط لأن المقام موجب.
مثال محلول خطوة بخطوة
حل المعادلة ln(x−1)+ln(x+1)=ln(8).
- يجب أن يكون العدد داخل كل لوغاريتم موجباً، ومنه x>1.
- باستعمال قاعدة الجداء نحصل على ln(x²−1)=ln(8).
- بما أن ln دالة حقنية، فإن x²−1=8، أي إن القيمتين المرشحتين هما −3 و3.
- القيمة 3 وحدها تنتمي إلى مجال التعريف. للتحقق، (3−1)(3+1)=8.
حان دورك
تمرين 1
حدّد مجال تعريف ln(5−2x).
تلميح
اشترط أن يكون 5−2x موجباً قطعاً.
عرض التصحيح
مجال التعريف هو ]−∞, 5/2[.
تمرين 2
حل المعادلة ln(2x−1)=0.
تلميح
استعمل ln(1)=0.
عرض التصحيح
عندما x>1/2 تكافئ المعادلة 2x−1=1، ومنه x=1.
تمرين 3
ادرس تغيرات f(x)=ln(x²+4).
تلميح
احسب المشتقة وقارن إشارتها بإشارة x.
عرض التصحيح
على ℝ لدينا f′(x)=2x/(x²+4). تتناقص الدالة إلى أن تبلغ x=0 ثم تتزايد، وقيمتها الدنيا ln(4) عند x=0.
أخطاء ينبغي تجنبها
- تحقق من العدد داخل كل لوغاريتم قبل الجمع.
- لا تطبّق قاعدة الجداء على ln(a+b).
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.