À la fin, vous saurez
- Déterminer le domaine de ln(u).
- Résoudre une équation logarithmique.
- Calculer la dérivée de ln(u).
Avant de commencer
Exponentielle, inéquations et dérivation.
Comprendre
Commencer par le domaine
ln est la réciproque de exp. Pour x réel, ln(x) existe si et seulement si x > 0. On a ln(1)=0 et ln(e)=1.
Calculer et comparer
Pour a et b strictement positifs, ln(ab)=ln(a)+ln(b) et ln(a/b)=ln(a)−ln(b). La fonction ln est strictement croissante : ln(a)<ln(b) équivaut à a<b.
Dériver une composée
Sur un intervalle où u est dérivable et strictement positive, (ln(u))′=u′/u. Étudiez le signe du numérateur puisque le dénominateur est positif.
Exemple guidé
Résoudre ln(x−1)+ln(x+1)=ln(8).
- Les deux arguments doivent être positifs, donc x>1.
- On regroupe les logarithmes : ln(x²−1)=ln(8).
- Par injectivité, x²−1=8, donc x vaut −3 ou 3.
- Seul 3 appartient au domaine. Vérification : (3−1)(3+1)=8.
À vous de jouer
Exercice 1
Donner le domaine de ln(5−2x).
Un indice
Imposer 5−2x>0.
Voir la correction
Le domaine est ]−∞, 5/2[.
Exercice 2
Résoudre ln(2x−1)=0.
Un indice
Utiliser ln(1)=0.
Voir la correction
Pour x>1/2, l’équation équivaut à 2x−1=1, donc x=1.
Exercice 3
Étudier les variations de f(x)=ln(x²+4).
Un indice
Calculer f′ et comparer son signe à celui de x.
Voir la correction
Sur ℝ, f′(x)=2x/(x²+4). f décroît jusqu’à 0 puis croît. Son minimum vaut ln(4).
Les erreurs à éviter
- Vérifier chaque argument avant de regrouper les logarithmes.
- La règle du produit ne s’applique pas à ln(a+b).
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars Maroc. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.