في النهاية ستتمكن من
- فحص فرضيات النموذج ذي الحدين.
- حساب P(X=k) وP(X≥1).
- تفسير الأمل الرياضي والتباين.
قبل أن تبدأ
احتمال حدث والاستقلال والتعداد والقوى.
افهم
أربعة شروط
نكرر عدداً ثابتاً n من التجارب المستقلة. لكل تجربة نتيجتان، نجاح أو إخفاق، واحتمال النجاح نفسه p. عندئذ يتبع عدد النجاحات X القانون B(n,p). لا يحقق السحب دون إرجاع من مجموعة صغيرة عموماً الاستقلال وثبات p.
عد الترتيبات
لكل عدد صحيح k بين 0 وn، لدينا P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. يعد المعامل C(n,k)=n!/(k!(n−k)!) اختيارات مواقع النجاحات k. لا تمثل سلسلة واحدة من النتائج كل حالات X=k. خصوصاً P(X=0)=(1−p)ⁿ.
الحدث المضاد والمتوسط
P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)ⁿ. الأمل الرياضي E(X)=np متوسط نظري عند تكرار التجربة المركبة مرات كثيرة، وليس عدداً مفروضاً في كل إنجاز. يقيس التباين V(X)=np(1−p) التشتت، والانحراف المعياري √V(X).
مثال محلول خطوة بخطوة
خمسة مكونات مستقلة احتمال عيب كل منها 0,20. يعد X المكونات المعيبة. احسب P(X=1) وP(X≥1) وE(X).
- الشروط متحققة: عدد ثابت ونتيجتان واستقلال واحتمال ثابت؛ إذن X يتبع B(5;0,20).
- P(X=1)=5×0,20×0,80⁴=0,4096.
- P(X≥1)=1−0,80⁵=0,67232.
- E(X)=5×0,20=1 وV(X)=5×0,20×0,80=0,80. الأمل 1 لا يعني وجود مكون معيب واحد دائماً.
حان دورك
تمرين 1
نرمي قطعة نقد متوازنة ثلاث مرات بشكل مستقل. احسب احتمال ظهور الوجه المحدد نجاحاً مرتين بالضبط.
تلميح
اختر موقعي النجاحين.
عرض التصحيح
P(X=2)=C(3,2)(1/2)²(1/2)=3/8.
تمرين 2
في التجربة نفسها، احسب احتمال نجاح واحد على الأقل.
تلميح
استعمل الحدث المضاد: لا نجاح.
عرض التصحيح
P(X≥1)=1−(1/2)³=7/8.
تمرين 3
إذا كان X يتبع B(20;0,10)، احسب E(X) وV(X).
تلميح
استعمل np وnp(1−p).
عرض التصحيح
E(X)=2 وV(X)=1,8. يبقى X صحيحاً ولو لم يكن تباينه صحيحاً.
أخطاء ينبغي تجنبها
- نجاح واحد على الأقل لا يعني نجاحاً واحداً بالضبط.
- لا تنس معامل التعداد.
- لا تطبق القانون دون فحص الاستقلال وثبات p.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.