À la fin, vous saurez
- Vérifier les hypothèses d’un modèle binomial.
- Calculer P(X=k) et P(X≥1).
- Interpréter espérance et variance.
Avant de commencer
Probabilité d’un événement, indépendance, dénombrement et puissances.
Comprendre
Quatre conditions à vérifier
On répète un nombre fixé n d’épreuves indépendantes. Chaque épreuve a deux issues, succès ou échec, avec la même probabilité p de succès. Le nombre X de succès suit alors une loi binomiale B(n,p). Un tirage sans remise dans une petite population ne satisfait généralement pas l’indépendance ni la constance de p.
Compter les arrangements
Pour k entier entre 0 et n, P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Le coefficient C(n,k)=n!/(k!(n−k)!) compte les choix des k positions de succès. Une seule suite d’issues ne suffit pas à représenter tous les cas où X=k. En particulier P(X=0)=(1−p)ⁿ.
Utiliser le complément et la moyenne
P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)ⁿ. L’espérance E(X)=np est une moyenne théorique sur de nombreuses répétitions du dispositif, pas un nombre imposé à chaque réalisation. La variance V(X)=np(1−p) mesure la dispersion et l’écart-type vaut √V(X).
Exemple guidé
Cinq composants indépendants ont chacun une probabilité 0,20 d’être défectueux. X compte les défectueux. Calculer P(X=1), P(X≥1) et E(X).
- Le modèle vérifie un nombre fixé d’épreuves, deux issues, indépendance et probabilité constante : X suit B(5;0,20).
- P(X=1)=5×0,20×0,80⁴=0,4096.
- P(X≥1)=1−0,80⁵=0,67232.
- E(X)=5×0,20=1 et V(X)=5×0,20×0,80=0,80. Une espérance de 1 ne signifie pas qu’il y a toujours un défectueux.
À vous de jouer
Exercice 1
On lance trois fois une pièce équilibrée, indépendamment. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux piles.
Un indice
Choisir les deux positions des piles.
Voir la correction
P(X=2)=C(3,2)(1/2)²(1/2)=3/8.
Exercice 2
Avec la même expérience, calculer la probabilité d’au moins un pile.
Un indice
Passer par l’événement aucun pile.
Voir la correction
P(X≥1)=1−(1/2)³=7/8.
Exercice 3
Pour X suivant B(20;0,10), calculer E(X) et V(X).
Un indice
Utiliser np et np(1−p).
Voir la correction
E(X)=2 et V(X)=1,8. X reste entier même si sa variance ne l’est pas.
Les erreurs à éviter
- Au moins un ne signifie pas exactement un.
- Ne pas oublier le coefficient de dénombrement.
- Ne pas appliquer la loi binomiale sans vérifier l’indépendance et p constant.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.