في النهاية ستتمكن من
- كتابة المعادلة التفاضلية للشحن.
- حساب ثابت الزمن τ=RC بالوحدات الدولية.
- تحديد توتر أو زمن باستعمال قانون الشحن.
قبل أن تبدأ
قانون أوم وقانون إضافية التوترات والدالة الأسية وتحويل الوحدات.
افهم
تحديد النموذج
نعتبر مولداً مثالياً بتوتر ثابت E ومقاومة R ومكثفاً مثالياً سعته C مركبة على التوالي. المكثف غير مشحون في البداية ونغلق الدارة عند t=0. نعتمد اصطلاح المستقبل للمقاومة والمكثف وتياراً موجباً يشحن المكثف.
RC duC/dt + uC = E
الحل والحالات الحدية
uC(t) = E(1 − e−t/τ)
i(t) = (E/R)e−t/τ
في البداية يكون توتر المكثف صفراً وشدة التيار E/R. على المدى الطويل يؤول التوتر إلى E والتيار إلى صفر. عند t=τ يبلغ التوتر نحو 63.2% من E، وعند 5τ نحو 99.3%؛ لذلك لا يكتمل الشحن رياضياً عند 5τ.
الوحدات والقراءة المبيانية
أدخل R بالأوم وC بالفاراد للحصول على الزمن بالثانية. الكيلو أوم يساوي 10³ أوم، والميكروفاراد يساوي 10⁻⁶ فاراد. يقطع المماس عند أصل منحنى الشحن المقارب uC=E عند t=τ. ويمكن أيضاً تحديد الزمن الموافق للتوتر 0.632E.
عند التفريغ دون مولد، انطلاقاً من توتر U₀، نستعمل uC(t)=U₀e−t/RC. لا تخلط بين الشحن والتفريغ.
مثال محلول خطوة بخطوة
نعطي E=9 V وR=3 kΩ وC=200 μF. احسب ثابت الزمن وتوتر المكثف عند τ وشدة التيار البدئية.
- نحول الوحدات: R=3000 Ω وC=200×10⁻⁶ F.
- τ=3000×200×10⁻⁶=0.60 s.
- uC(τ)=9(1−e⁻¹)≈5.69 V.
- i(0)=9/3000=0.003 A=3.0 mA. التوتر البدئي منعدم لكن شدة التيار البدئية غير منعدمة.
حان دورك
تمرين 1
لدينا E=6 V وR=2 kΩ وC=100 μF. احسب τ وuC(τ).
تلميح
حول الميكروفاراد قبل إجراء الجداء.
عرض التصحيح
τ=2000×100×10⁻⁶=0.20 s، ثم uC(τ)≈3.79 V.
تمرين 2
متى يبلغ توتر المكثف 90% من E في الدارة نفسها؟
تلميح
اعزل الحد الأسي واستعمل اللوغاريتم.
عرض التصحيح
من 0.9=1−e^(−t/τ) نستنتج t=τ ln(10)≈0.461 s.
تمرين 3
يبدأ تفريغ من توتر U₀=8 V. احسب التوتر عند t=2τ.
تلميح
صيغة التفريغ لا تحتوي على 1−.
عرض التصحيح
uC(2τ)=8e⁻²≈1.08 V.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تستعمل قيمة السعة بالميكروفاراد كما لو كانت بالفاراد.
- ثابت الزمن ليس المدة الدقيقة لاكتمال الشحن.
- صيغة الشحن المعطاة تفترض توتراً بدئياً منعدماً.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الفيزياء ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.