في النهاية ستتمكن من
- اشتقاق مجموع أو جداء أو خارج دالتين.
- ربط إشارة المشتقة باتجاه التغيّر.
- كتابة معادلة المماس.
قبل أن تبدأ
التحليل إلى جداء، إشارة الجداء وحساب صور الأعداد.
افهم
الفهم قبل الحساب
يمثل العدد f′(a) معدل التغيّر اللحظي ومعامل توجيه المماس عند الفاصلة a. وهو نهاية خارج القسمة (f(a+h)−f(a))/h عندما يؤول h إلى الصفر، إذا وُجدت هذه النهاية وكانت منتهية.
إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال وكانت مشتقتها موجبة أو منعدمة عليه فهي متزايدة عليه، وإذا كانت سالبة أو منعدمة فهي متناقصة. لذلك ندرس الإشارة على مجال كامل ولا نكتفي ببعض القيم.
اختيار القاعدة المناسبة
(u + v)′ = u′ + v′
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v² (v ≠ 0)
مشتقة الثابت هي صفر. تفترض هذه القواعد قابلية الدالتين للاشتقاق حيث نطبقها. حدد مجموعة التعريف أولاً، خصوصاً عند وجود مقام.
طريقة من أربع خطوات
- حدد مجموعة التعريف واحسب المشتقة.
- حلل المشتقة وابحث عن جذورها.
- ادرس إشارتها على كل مجال.
- استنتج اتجاه التغيّر واحسب القيم اللازمة.
هذه معادلة المماس عند الفاصلة a.
مثال محلول خطوة بخطوة
ادرس تغيّرات f(x)=x³−3x على ℝ وحدد المماس عند x=1.
- المشتقة f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)، وتنعدم عند −1 و1.
- إشارتها موجبة قبل −1 وبعد 1، وسالبة بين −1 و1.
- تتزايد f إلى القيمة f(−1)=2 ثم تتناقص إلى f(1)=−2 ثم تتزايد. هاتان قيمتان حديتان محليتان.
- بما أن f′(1)=0 وf(1)=−2 فإن المماس أفقي ومعادلته y=−2.
حان دورك
تمرين 1
لتكن g(x)=x²−4x+1. حدد قيمتها الدنيا على ℝ.
تلميح
حلل g′(x).
عرض التصحيح
لدينا g′(x)=2(x−2). تتغير الإشارة من سالبة إلى موجبة عند 2، والقيمة الدنيا المطلقة هي g(2)=−3.
تمرين 2
حدد المماس للدالة g(x)=x²−4x+1 عند الفاصلة 0.
تلميح
احسب g(0) وg′(0).
عرض التصحيح
لدينا g(0)=1 وg′(0)=−4. معادلة المماس هي y=1−4x.
تمرين 3
اشتق h(x)=(x+1)/(x−1) وحدد مجالات تناقصها.
تلميح
الفاصلة 1 مستثناة من مجموعة التعريف.
عرض التصحيح
لكل x≠1 نجد h′(x)=−2/(x−1)²<0. الدالة متناقصة على كل من المجالين ]−∞,1[ و]1,+∞[، ولا نعمم ذلك على اتحادهما.
أخطاء ينبغي تجنبها
- مشتقة الجداء ليست جداء المشتقتين.
- انعدام المشتقة وحده لا يكفي لإثبات وجود قيمة حدية؛ يجب فحص تغيّر الإشارة.
- لا نطبق صيغة خارج القسمة عند انعدام المقام.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.