À la fin, vous saurez
- Dériver une somme, un produit ou un quotient.
- Relier le signe de la dérivée aux variations.
- Écrire l’équation d’une tangente.
Avant de commencer
Factorisation, signes d’un produit et calcul d’images.
Comprendre
Comprendre avant de calculer
La dérivée f′(a) mesure le taux de variation instantané et donne la pente de la tangente au point d’abscisse a. Elle se définit par la limite du quotient (f(a+h)−f(a))/h quand h tend vers 0, si cette limite existe et est finie.
Pour une fonction dérivable sur un intervalle, f′ ≥ 0 sur cet intervalle implique que f est croissante ; f′ ≤ 0 implique qu’elle est décroissante. Il faut donc étudier un signe sur un intervalle, pas seulement calculer quelques valeurs.
Les règles à choisir
(u + v)′ = u′ + v′
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v² (v ≠ 0)
Une constante a pour dérivée 0. Les règles supposent que u et v sont dérivables là où on les utilise. Commencez par préciser le domaine, surtout pour un quotient.
Une méthode en quatre étapes
- Déterminer le domaine et calculer f′.
- Factoriser f′ et repérer ses zéros.
- Étudier son signe sur chaque intervalle.
- Déduire les variations et calculer les valeurs utiles.
Exemple guidé
Étudier les variations de f(x)=x³−3x sur ℝ et donner sa tangente en x=1.
- f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). Les zéros de f′ sont −1 et 1.
- f′ est positive sur ]−∞,−1[ et ]1,+∞[, négative sur ]−1,1[.
- f croît jusqu’à f(−1)=2, décroît jusqu’à f(1)=−2, puis croît. Ces extrema sont locaux.
- En a=1, f′(1)=0 et f(1)=−2 : la tangente est la droite horizontale y=−2.
À vous de jouer
Exercice 1
Soit g(x)=x²−4x+1. Déterminer son minimum sur ℝ.
Un indice
Factorisez g′(x).
Voir la correction
g′(x)=2(x−2). Le signe passe de − à + en 2. Le minimum global est g(2)=−3.
Exercice 2
Pour g(x)=x²−4x+1, trouver la tangente en 0.
Un indice
Calculez g(0) et g′(0).
Voir la correction
g(0)=1 et g′(0)=−4. La tangente est y=1−4x.
Exercice 3
Dériver h(x)=(x+1)/(x−1) et préciser où elle décroît.
Un indice
Le dénominateur exclut x=1.
Voir la correction
Pour x≠1, h′(x)=−2/(x−1)²<0. h décroît sur chacun des intervalles ]−∞,1[ et ]1,+∞[. Ne concluez pas à une décroissance globale sur leur réunion.
Les erreurs à éviter
- Ne pas confondre (uv)′ avec u′v′.
- Un zéro de f′ n’est pas automatiquement un extremum : son signe doit changer.
- La formule du quotient n’autorise jamais un dénominateur nul.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars Maroc. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.