في النهاية ستتمكن من
- كتابة مستوى انطلاقاً من نقطة ومتجهة ناظمية.
- تعويض تمثيل بارامتري لمستقيم.
- التمييز بين تقاطع وحيد وتواز واحتواء.
قبل أن تبدأ
الإحداثيات في الفضاء والمتجهات والجداء السلمي والمعادلات الخطية.
افهم
تعريف مستوى
في معلم متعامد ممنظم، مستوى متجهته الناظمية غير المنعدمة n=(a,b,c) ويمر من A(xA,yA,zA) يحقق a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0. نكتب ax+by+cz+d=0. المتجهة الناظمية عمودية على كل اتجاهات المستوى وليست متجهة موجهة له.
وصف مستقيم
مستقيم يمر من P(xP,yP,zP) ومتجهته الموجهة غير المنعدمة u=(u₁,u₂,u₃) يكتب x=xP+tu₁ وy=yP+tu₂ وz=zP+tu₃ حيث t حقيقي. تحدد قيمة t نقطة، وتحدد u اتجاهاً. يجب أن تكون u غير منعدمة.
الحل والتفسير
نعوض x,y,z في معادلة المستوى فنحصل على معادلة في t. إذا كان n·u≠0 فالتقاطع وحيد. إذا كان n·u=0 فالمستقيم مواز لاتجاه المستوى؛ يكون محتوى فيه إذا انتمت إليه نقطة منه، وإلا فلا تقاطع. تعامد متجهتين موجهتين لا يكفي لإثبات تقاطع مستقيمين في الفضاء.
مثال محلول خطوة بخطوة
حدد تقاطع المستوى x+2y−z−3=0 والمستقيم x=1+t وy=t وz=2−t.
- متجهة المستوى الناظمية n=(1,2,−1) واتجاه المستقيم u=(1,1,−1).
- n·u=1+2+1=4≠0، فيتوقع تقاطع وحيد.
- بالتعويض 1+t+2t−(2−t)−3=0، أي 4t−4=0 ومنه t=1.
- النقطة (2,1,1). نتحقق: 2+2×1−1−3=0.
حان دورك
تمرين 1
اكتب معادلة المستوى المار من A(1,0,2) والناظمي للمتجهة n=(2,−1,1).
تلميح
استعمل n·AM=0.
عرض التصحيح
2(x−1)−y+(z−2)=0، أي 2x−y+z−4=0.
تمرين 2
هل المستقيم x=t وy=1−t وz=0 محتوى في المستوى x+y=1؟
تلميح
عوض ولاحظ هل تعتمد المساواة على t.
عرض التصحيح
x+y=t+1−t=1 لكل t، فالمستقيم كله محتوى في المستوى.
تمرين 3
هل يقطع المستقيم x=t وy=−t وz=2 المستوى x+y=1؟
تلميح
اتجاه المستقيم مواز لاتجاه المستوى، لكن يجب فحص نقطة.
عرض التصحيح
على المستقيم x+y=0 لكل t، فلا نقطة له على المستوى x+y=1.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا يجوز أن تكون المتجهة الناظمية منعدمة.
- لا تخلط نقطة ذات إحداثيات واتجاهاً تحدده متجهة.
- تعامد اتجاهين في الفضاء لا يضمن تقاطع المستقيمين.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من Dars +. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.