في النهاية ستتمكن من
- كتابة الشكل المثلثي لعدد z≠0.
- تفسير خارج فروق اللواحق.
- التعرف على دوران ومركزه.
قبل أن تبدأ
الشكل الجبري والمرافق والمعيار وحساب المثلثات والزوايا الموجهة.
افهم
المعيار والعمدة
إذا كان z≠0 نكتب z=r(cos θ+i sin θ)، حيث r=|z|>0 وθ عمدة معرفة بترديد 2π. لا عمدة للعدد 0. إذا كان z=a+ib نستعمل cos θ=a/r وsin θ=b/r؛ معرفة tan θ وحدها لا تكفي لتحديد الربع.
خارج ذو معنى هندسي
إذا كانت A وB وC مختلفة، فإن q=(zC−zA)/(zB−zA) معياره AC/AB وعمدته الزاوية الموجهة من AB إلى AC بترديد 2π. إذا كان q حقيقياً غير منعدم فالنقط مستقيمية. وإذا كان تخيلياً صرفاً غير منعدم فالاتجاهان AB وAC متعامدان. نتحقق أولاً من عدم انعدام المقام.
الدوران حول مركز
دوران مركزه Ω لاحقته ω وزاويته θ يحقق z′−ω=(cos θ+i sin θ)(z−ω). يحافظ على المسافة إلى المركز. عند θ=π/2 يكون العامل i، فننجز ربع دورة في المنحى المثلثي. يبقى المركز ثابتاً رغم عدم تعريف عمدة المتجهة المنعدمة.
مثال محلول خطوة بخطوة
لواحق A وB وC هي 1+i و3+i و1+3i. أثبت أن ABC مثلث قائم ومتساوي الساقين في A.
- لدينا zB−zA=2 وzC−zA=2i.
- الخارج (zC−zA)/(zB−zA)=i.
- معياره 1، ومنه AC=AB=2.
- عمدة من عمد i هي π/2، إذن AB وAC متعامدان. المثلث قائم ومتساوي الساقين في A.
حان دورك
تمرين 1
حدد معيار وعمدة −1+i.
تلميح
حدد الربع قبل اختيار الزاوية.
عرض التصحيح
المعيار √2، وعمدة ممكنة 3π/4. جميع العمد هي 3π/4+2kπ حيث k عدد صحيح.
تمرين 2
حدد صورة z=2−i بدوران مركزه O وزاويته π/2.
تلميح
اضرب z في i.
عرض التصحيح
z′=i(2−i)=1+2i. المعياران يساويان √5.
تمرين 3
لاحقة A هي 1 ولاحقة B هي 2+i. حدد صورة B بربع دورة مباشر حول A.
تلميح
استعمل z′−1=i(zB−1).
عرض التصحيح
z′=1+i(1+i)=i. مركز الدوران A وليس O.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تنسب عمدة للعدد 0.
- لا تخلط بين زاوية موجهة وظلها وحده.
- اطرح لاحقة المركز قبل تطبيق دوران غير متمركز في O.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.