في النهاية ستتمكن من
- حساب مجموع وجداء في ℂ.
- استعمال المرافق في القسمة.
- ربط المعيار بالمسافة في المستوى.
قبل أن تبدأ
النشر والمتطابقات الهامة والجذور التربيعية وحل المعادلات الحقيقية.
افهم
الوحدة التخيلية
في ℂ لدينا i²=−1. يكتب كل عدد عقدي بشكل وحيد z=a+ib حيث a وb حقيقيان. نكتب Re(z)=a وIm(z)=b؛ الجزء التخيلي هو العدد الحقيقي b وليس ib. للمقارنة بين عددين عقديين نساوي الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين.
المرافق والمعيار
مرافق z=a+ib هو a−ib. جداء z في مرافقه يساوي a²+b². المعيار |z|=√(a²+b²) عدد حقيقي موجب أو منعدم، ويمثل المسافة بين أصل المعلم والنقطة ذات اللاحقة z. إذا كانت A وB نقطتين فإن AB=|zB−zA|.
القسمة
للقسمة على w≠0 نضرب البسط والمقام في مرافق w. يصبح المقام |w|²>0. ننشر البسط باستعمال i²=−1، ثم نجمع الجزء الحقيقي ومعامل i.
مثال محلول خطوة بخطوة
اكتب (3+2i)/(1−i) على الشكل الجبري ثم احسب معياره.
- المقام 1−i غير منعدم ومرافقه 1+i.
- لدينا (3+2i)(1+i)=3+5i+2i²=1+5i، كما أن (1−i)(1+i)=2.
- إذن الخارج يساوي 1/2+(5/2)i.
- معياره هو √((1/2)²+(5/2)²)=√26/2. ونجد أيضاً |3+2i|/|1−i|=√13/√2.
حان دورك
تمرين 1
احسب (2−i)(3+2i).
تلميح
انشر ثم عوض i² بالقيمة −1.
عرض التصحيح
لدينا 6+4i−3i−2i²=8+i.
تمرين 2
حل z²=−9 في ℂ.
تلميح
اكتب z²+9 على شكل جداء.
عرض التصحيح
لدينا z²+9=(z−3i)(z+3i). الحلان هما z=3i وz=−3i.
تمرين 3
لاحقتا A وB هما 1+2i و4−2i. احسب AB.
تلميح
احسب zB−zA ثم معياره.
عرض التصحيح
لدينا zB−zA=3−4i، ومنه AB=√(3²+4²)=5 وحدات طول.
أخطاء ينبغي تجنبها
- عوض i² بالقيمة −1 وليس 1.
- المعيار عدد حقيقي موجب أو منعدم وليس عدداً عقدياً كيفياً.
- تحقق من عدم انعدام المقام قبل القسمة.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.