À la fin, vous saurez
- Calculer une somme et un produit dans ℂ.
- Utiliser le conjugué pour diviser.
- Relier module et distance dans le plan.
Avant de commencer
Développement, identités remarquables, racines carrées et résolution d’équations réelles.
Comprendre
Une nouvelle unité
Dans ℂ, i²=−1. Tout nombre complexe s’écrit de manière unique z=a+ib avec a et b réels. On note Re(z)=a et Im(z)=b : la partie imaginaire est le réel b, pas ib. Pour identifier deux complexes, on compare leurs parties réelles puis imaginaires.
Conjugué et module
Le conjugué de z=a+ib est a−ib. Le produit de z par son conjugué vaut a²+b². Le module |z|=√(a²+b²) est un réel positif ou nul ; il représente la distance entre l’origine et le point d’affixe z. Entre deux points A et B, AB=|zB−zA|.
Diviser sans dénominateur complexe
Pour diviser par w≠0, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de w. Le nouveau dénominateur vaut |w|²>0. Développer le numérateur avec i²=−1, puis regrouper la partie réelle et le coefficient de i.
Exemple guidé
Mettre (3+2i)/(1−i) sous forme algébrique, puis calculer son module.
- Le dénominateur 1−i est non nul ; son conjugué est 1+i.
- (3+2i)(1+i)=3+5i+2i²=1+5i, et (1−i)(1+i)=2.
- Le quotient est donc 1/2+(5/2)i.
- Son module est √((1/2)²+(5/2)²)=√26/2. On retrouve |3+2i|/|1−i|=√13/√2.
À vous de jouer
Exercice 1
Calculer (2−i)(3+2i).
Un indice
Développer puis remplacer i² par −1.
Voir la correction
6+4i−3i−2i²=8+i.
Exercice 2
Résoudre z²=−9 dans ℂ.
Un indice
Écrire z²+9 comme un produit.
Voir la correction
z²+9=(z−3i)(z+3i). Les solutions sont z=3i et z=−3i.
Exercice 3
A et B ont pour affixes 1+2i et 4−2i. Calculer AB.
Un indice
Calculer zB−zA puis son module.
Voir la correction
zB−zA=3−4i, donc AB=√(3²+4²)=5 unités de longueur.
Les erreurs à éviter
- Remplacer i² par −1, jamais par 1.
- Le module est un réel positif ou nul, pas un complexe.
- Vérifier que le dénominateur est non nul avant de diviser.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.