À la fin, vous saurez
- Passer à une forme trigonométrique pour z≠0.
- Interpréter un quotient de différences d’affixes.
- Reconnaître une rotation et son centre.
Avant de commencer
Forme algébrique, conjugué, module, trigonométrie et angles orientés.
Comprendre
Module et argument
Pour z≠0, on peut écrire z=r(cos θ+i sin θ), où r=|z|>0 et θ est un argument défini modulo 2π. Le nombre 0 n’a pas d’argument. Pour z=a+ib, on utilise cos θ=a/r et sin θ=b/r ; connaître seulement tan θ ne suffit pas à déterminer le quadrant.
Un quotient géométrique
Si A, B et C sont distincts, q=(zC−zA)/(zB−zA) a pour module AC/AB et pour argument l’angle orienté de AB vers AC, modulo 2π. Si q est réel non nul, A, B et C sont alignés. Si q est imaginaire pur non nul, les directions AB et AC sont perpendiculaires. Vérifier d’abord que le dénominateur est non nul.
Rotation autour d’un centre
Une rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ vérifie z′−ω=(cos θ+i sin θ)(z−ω). Elle conserve les distances au centre. Pour θ=π/2, le facteur est i : on effectue un quart de tour dans le sens trigonométrique. Le centre reste fixe même si l’argument du vecteur nul n’est pas défini.
Exemple guidé
A, B et C ont pour affixes 1+i, 3+i et 1+3i. Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
- zB−zA=2 et zC−zA=2i.
- Le quotient (zC−zA)/(zB−zA)=i.
- Son module vaut 1 : AC=AB=2.
- Un argument de i est π/2, donc AB et AC sont perpendiculaires. Le triangle est rectangle et isocèle en A.
À vous de jouer
Exercice 1
Donner le module et un argument de −1+i.
Un indice
Repérer le quadrant avant de choisir l’angle.
Voir la correction
Le module est √2. Un argument est 3π/4 ; tous les arguments sont 3π/4+2kπ avec k entier.
Exercice 2
Trouver l’image de z=2−i par une rotation de centre O et d’angle π/2.
Un indice
Multiplier z par i.
Voir la correction
z′=i(2−i)=1+2i. Les deux modules valent √5.
Exercice 3
A a pour affixe 1 et B pour affixe 2+i. Donner l’image de B par un quart de tour direct autour de A.
Un indice
Utiliser z′−1=i(zB−1).
Voir la correction
z′=1+i(1+i)=i. La rotation est centrée en A et non en O.
Les erreurs à éviter
- Ne pas attribuer d’argument à 0.
- Ne pas confondre un angle orienté et sa seule tangente.
- Soustraire l’affixe du centre avant d’appliquer une rotation non centrée en O.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.