À la fin, vous saurez
- Écrire un plan à partir d’un point et d’un vecteur normal.
- Substituer une représentation paramétrique de droite.
- Distinguer intersection unique, parallélisme et inclusion.
Avant de commencer
Coordonnées dans l’espace, vecteurs, produit scalaire et équations linéaires.
Comprendre
Définir un plan
Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal non nul n=(a,b,c) passant par A(xA,yA,zA) vérifie a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0. On obtient ax+by+cz+d=0. Le vecteur normal est perpendiculaire à toutes les directions du plan ; il n’est pas un vecteur directeur du plan.
Décrire une droite
Une droite passant par P(xP,yP,zP) et de vecteur directeur non nul u=(u₁,u₂,u₃) s’écrit x=xP+tu₁, y=yP+tu₂, z=zP+tu₃ pour t réel. Une valeur de t donne un point ; le vecteur u décrit une direction. Il faut vérifier que u n’est pas nul.
Résoudre et interpréter
En remplaçant x,y,z dans l’équation du plan, on obtient une équation en t. Si n·u≠0, l’intersection est unique. Si n·u=0, la droite est parallèle à la direction du plan : elle est incluse si un de ses points appartient au plan, sinon elle n’a pas d’intersection. Deux vecteurs directeurs orthogonaux ne suffisent pas à prouver que deux droites de l’espace se coupent.
Exemple guidé
Trouver l’intersection du plan x+2y−z−3=0 et de la droite x=1+t, y=t, z=2−t.
- Le plan a pour vecteur normal n=(1,2,−1) et la droite pour direction u=(1,1,−1).
- n·u=1+2+1=4≠0 : une intersection unique est attendue.
- Substituer : 1+t+2t−(2−t)−3=0, soit 4t−4=0, donc t=1.
- Le point est (2,1,1). Vérification : 2+2×1−1−3=0.
À vous de jouer
Exercice 1
Donner une équation du plan passant par A(1,0,2), normal à n=(2,−1,1).
Un indice
Utiliser n·AM=0.
Voir la correction
2(x−1)−y+(z−2)=0, donc 2x−y+z−4=0.
Exercice 2
La droite x=t, y=1−t, z=0 est-elle incluse dans le plan x+y=1 ?
Un indice
Substituer et observer si l’égalité dépend de t.
Voir la correction
x+y=t+1−t=1 pour tout t. La droite entière est incluse dans le plan.
Exercice 3
La droite x=t, y=−t, z=2 coupe-t-elle le plan x+y=1 ?
Un indice
Le vecteur directeur est parallèle à la direction du plan, mais il faut vérifier un point.
Voir la correction
Sur la droite, x+y=0 pour tout t. Elle n’a aucun point du plan x+y=1.
Les erreurs à éviter
- Un vecteur normal ne doit pas être nul.
- Ne pas confondre un point (coordonnées) et une direction (vecteur).
- Dans l’espace, des directions orthogonales ne garantissent pas que les droites sont sécantes.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.