في النهاية ستتمكن من
- تحديد نصف القطر انطلاقاً من مركز الجرم.
- حساب السرعة والدور لمدار دائري.
- تفسير أثر نصف القطر وكتلة القمر الاصطناعي.
قبل أن تبدأ
قوة التجاذب والحركة الدائرية المنتظمة والقانون الثاني لنيوتن.
افهم
اختيار الفرضيات
نمثل قمراً اصطناعياً كتلته m خاضعاً فقط لجذب جرم كروي كتلته M أكبر بكثير من m. الحركة المدروسة دائرية منتظمة في مرجع مناسب نفترضه غاليلياً. إذا كان R نصف قطر الجرم وh الارتفاع، فإن نصف قطر المدار r=R+h ويقاس بين المركزين.
ربط القوة بالتسارع
قوة التجاذب شدتها GMm/r² وتتجه نحو المركز. التسارع المركزي v²/r في المنحى نفسه. تعطي GMm/r²=mv²/r العلاقة v=√(GM/r). تختزل الكتلة m، فلا تعتمد سرعة هذا المدار على كتلة القمر الاصطناعي وفق النموذج.
حساب الدور
طول دورة 2πr، ومنه T=2πr/v=2π√(r³/(GM)). للجرم المركزي نفسه، T²/r³=4π²/(GM). مدار دائري أبعد يقابل سرعة أصغر ودوراً أطول. تتطلب المدارات الإهليلجية معالجة أخرى للسرعة التي لا تبقى ثابتة على المدار كله.
مثال محلول خطوة بخطوة
لجرم معامله GM=4,0×10¹⁴ m³/s² ومدار دائري نصف قطره r=1,0×10⁷ m، احسب v وT.
- v²=GM/r=4,0×10⁷ m²/s².
- v≈6,32×10³ m/s، أي حوالي 6,32 km/s.
- T=2πr/v≈9,93×10³ s.
- بالقسمة على 3600 نجد T≈2,76 h. نصف القطر المستعمل مقاس من المركز وليس من السطح.
حان دورك
تمرين 1
لجرم R=6,4×10⁶ m وارتفاع قمر اصطناعي h=0,6×10⁶ m. ما نصف القطر المستعمل؟
تلميح
اجمع نصف قطر الجرم والارتفاع.
عرض التصحيح
r=R+h=7,0×10⁶ m. استعمال h وحده يضخم الجذب والسرعة المحسوبة.
تمرين 2
للجرم نفسه نضرب نصف قطر المدار في 4. كيف تتغير v وT؟
تلميح
استعمل تناسب v مع 1/√r وتناسب T مع r√r.
عرض التصحيح
تقسم السرعة على 2 ويضرب الدور في 8.
تمرين 3
نقسم كتلة القمر الاصطناعي على اثنين مع ثبات نصف قطر المدار. كيف تتغير القوة والسرعة المدارية؟
تلميح
تعتمد القوة على m لكن السرعة المستنتجة من القانون الثاني لا تعتمد عليها.
عرض التصحيح
تقسم القوة على اثنين وتبقى سرعة المدار الدائري نفسها وفق النموذج.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تخلط الارتفاع h ونصف القطر r.
- القوة المركزية ليست قوة إضافية نجمعها مع التجاذب.
- لا تستعمل العلاقة الدائرية لافتراض سرعة ثابتة على إهليلج.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الفيزياء ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.