À la fin, vous saurez
- Identifier le rayon mesuré depuis le centre de l’astre.
- Calculer vitesse et période sur une orbite circulaire.
- Interpréter la dépendance au rayon et à la masse du satellite.
Avant de commencer
Force gravitationnelle, mouvement circulaire uniforme et deuxième loi de Newton.
Comprendre
Choisir les hypothèses
On modélise un satellite de masse m soumis seulement à l’attraction d’un astre sphérique de masse M, avec M très grande devant m. Le mouvement étudié est circulaire uniforme dans un référentiel approprié supposé galiléen. Si R est le rayon de l’astre et h l’altitude, le rayon orbital est r=R+h, mesuré entre les centres.
Égaler force et accélération
La force gravitationnelle de norme GMm/r² est dirigée vers le centre. L’accélération centripète vaut v²/r dans la même direction. La relation GMm/r²=mv²/r donne v=√(GM/r). La masse m s’élimine : la vitesse de cette orbite ne dépend pas de la masse du satellite dans ce modèle.
Calculer la période
La longueur d’un tour est 2πr, donc T=2πr/v=2π√(r³/(GM)). Pour un même astre central, T²/r³=4π²/(GM). Une orbite circulaire plus éloignée a une vitesse plus faible et une période plus longue. Les trajectoires elliptiques nécessitent un autre traitement de la vitesse, qui n’est pas constante sur toute l’orbite.
Exemple guidé
Pour un astre de paramètre GM=4,0×10¹⁴ m³/s² et une orbite circulaire de rayon r=1,0×10⁷ m, calculer v et T.
- v²=GM/r=4,0×10⁷ m²/s².
- v≈6,32×10³ m/s, soit environ 6,32 km/s.
- T=2πr/v≈9,93×10³ s.
- En divisant par 3600, T≈2,76 h. Le rayon utilisé est mesuré depuis le centre, pas depuis la surface.
À vous de jouer
Exercice 1
Un astre a R=6,4×10⁶ m et le satellite une altitude h=0,6×10⁶ m. Quel rayon utiliser ?
Un indice
Additionner rayon de l’astre et altitude.
Voir la correction
r=R+h=7,0×10⁶ m. Utiliser h seul surestimerait l’attraction et la vitesse calculée.
Exercice 2
Pour le même astre, on multiplie le rayon orbital par 4. Comment varient v et T ?
Un indice
Utiliser v proportionnelle à 1/√r et T proportionnelle à r√r.
Voir la correction
La vitesse est divisée par 2 et la période multipliée par 8.
Exercice 3
On divise par deux la masse d’un satellite sur une orbite de rayon inchangé. Comment varient la force et la vitesse orbitale ?
Un indice
La force dépend de m, mais la vitesse obtenue par la deuxième loi n’en dépend pas.
Voir la correction
La force est divisée par deux ; la vitesse de l’orbite circulaire reste la même dans ce modèle.
Les erreurs à éviter
- Ne pas confondre altitude h et rayon r.
- La force centripète n’est pas une force supplémentaire à ajouter à la gravitation.
- Ne pas utiliser la formule circulaire comme une vitesse constante sur une ellipse.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Physique ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.