في النهاية ستتمكن من
- إسقاط التسارع في معلم مناسب.
- حساب مدة التحليق والارتفاع والمدى وفق الفرضيات.
- التمييز بين انعدام السرعة العمودية وانعدام التسارع.
قبل أن تبدأ
المتجهات والقانون الثاني لنيوتن وحساب المثلثات والمعادلات الزمنية.
افهم
تحديد النموذج
ندرس نقطة مادية في مرجع أرضي نفترضه غاليلياً، مع مجال ثقالة منتظم وإهمال مقاومة الهواء. المحور x أفقي وy عمودي نحو الأعلى. القوة الوحيدة هي الثقل، ومنه ax=0 وay=−g. لا يصف النموذج الرياح أو دوران الأرض أو مقاومة الهواء.
كتابة المعادلات الزمنية
إذا كان الموضع البدئي (0,y₀) والسرعة البدئية v₀ تصنع زاوية θ مع الأفقي، فإن vx=v₀ cos θ وvy=v₀ sin θ−gt. نستنتج x(t)=v₀ cos θ t وy(t)=y₀+v₀ sin θ t−gt²/2. السرعة الأفقية ثابتة، لكن معيار متجهة السرعة ليس ثابتاً عموماً.
استعمال شروط الحدث
عند القمة يكون vy=0 لكن ay=−g غير منعدم. لانطلاق ووصول في الارتفاع نفسه مع 0<θ<90°، تكون مدة التحليق الموجبة 2v₀ sin θ/g والمدى v₀² sin(2θ)/g. عند ثبات السرعة البدئية يكون هذا المدى أقصى عند 45° في هذا النموذج فقط. إذا اختلف الارتفاعان نحل المعادلة العمودية المناسبة.
مثال محلول خطوة بخطوة
تنطلق قذيفة من y₀=0 بسرعة v₀=20 m/s بزاوية θ=30° مع g=10 m/s²، وتعود إلى y=0. احسب المدة والمدى والارتفاع الأقصى.
- vx=20cos(30°)=10√3 m/s والسرعة العمودية البدئية 20sin(30°)=10 m/s.
- y(t)=10t−5t². حلا y=0 هما 0 و2 s، فمدة التحليق 2 s.
- المدى x(2)=20√3≈34,6 m.
- عند القمة تعطي 10−10t=0 الزمن t=1 s، ومنه y(1)=5,0 m. يبقى التسارع نحو الأسفل عند القمة.
حان دورك
تمرين 1
يقذف جسم أفقياً بسرعة 6,0 m/s من ارتفاع y₀=5,0 m. مع g=10 m/s²، حدد مدة الوصول إلى الأرض والمدى.
تلميح
السرعة العمودية البدئية منعدمة.
عرض التصحيح
y(t)=5−5t²، فالمدة الموجبة 1,0 s. المدى الأفقي 6,0×1,0=6,0 m.
تمرين 2
عند قمة قذف مائل دون مقاومة هواء، ما المركبات المنعدمة للسرعة والتسارع؟
تلميح
لا تخلط المشتقة الأولى والثانية.
عرض التصحيح
vy=0 وax=0. عموماً تبقى vx غير منعدمة وay=−g. لذلك لا تنعدم السرعة الكلية في قذف غير عمودي.
تمرين 3
تعود قذيفة إلى ارتفاع الانطلاق مع v₀=10 m/s وθ=45°. احسب المدى مع g=10 m/s².
تلميح
طبق العلاقة ضمن الفرضيات المذكورة فقط.
عرض التصحيح
المدى v₀² sin(90°)/g=100/10=10 m.
أخطاء ينبغي تجنبها
- حدد إشارة g وفق توجيه المحور ولا تغير اختيارك أثناء الحساب.
- في القذف المائل تنعدم عند القمة المركبة العمودية للسرعة فقط.
- تفترض علاقة المدى البسيطة تساوي ارتفاعي الانطلاق والوصول.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الفيزياء ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.