À la fin, vous saurez
- Projeter l’accélération dans un repère adapté.
- Calculer durée de vol, hauteur et portée sous les hypothèses données.
- Distinguer vitesse verticale nulle et accélération nulle.
Avant de commencer
Vecteurs, deuxième loi de Newton, trigonométrie et équations horaires.
Comprendre
Définir le modèle
On étudie un point matériel dans un référentiel terrestre supposé galiléen, avec un champ de pesanteur uniforme et sans résistance de l’air. L’axe x est horizontal et y vertical vers le haut. La seule force est le poids : ax=0 et ay=−g. Ce modèle ne tient pas compte des vents, de la rotation terrestre ou de la traînée.
Écrire les équations horaires
Si la position initiale est (0,y₀) et la vitesse initiale v₀ fait l’angle θ avec l’horizontale, vx=v₀ cos θ et vy=v₀ sin θ−gt. On en déduit x(t)=v₀ cos θ t et y(t)=y₀+v₀ sin θ t−gt²/2. La vitesse horizontale est constante, mais la norme de la vitesse ne l’est pas en général.
Utiliser les conditions de l’événement
Au sommet, vy=0 mais ay=−g reste non nulle. Pour un départ et une arrivée à la même altitude avec 0<θ<90°, la durée positive de vol est 2v₀ sin θ/g et la portée v₀² sin(2θ)/g. À vitesse initiale fixée, cette portée est maximale à 45° dans ce modèle seulement. Pour des altitudes différentes, résoudre l’équation verticale adaptée.
Exemple guidé
Un projectile part de y₀=0 à v₀=20 m/s sous θ=30°, avec g=10 m/s². Il retombe à y=0. Calculer la durée, la portée et la hauteur maximale.
- vx=20cos(30°)=10√3 m/s et vy initiale=20sin(30°)=10 m/s.
- y(t)=10t−5t². Les solutions de y=0 sont 0 et 2 s ; la durée de vol est 2 s.
- La portée vaut x(2)=20√3≈34,6 m.
- Au sommet, 10−10t=0 donne t=1 s et y(1)=5,0 m. L’accélération reste dirigée vers le bas au sommet.
À vous de jouer
Exercice 1
Un objet est lancé horizontalement à 6,0 m/s depuis y₀=5,0 m. Avec g=10 m/s², trouver la durée jusqu’au sol et la portée.
Un indice
La vitesse verticale initiale est nulle.
Voir la correction
y(t)=5−5t² : la durée positive vaut 1,0 s. La portée horizontale est 6,0×1,0=6,0 m.
Exercice 2
Au sommet d’un tir oblique sans air, quelles composantes de vitesse et d’accélération sont nulles ?
Un indice
Ne pas confondre dérivée première et seconde.
Voir la correction
vy=0 et ax=0. En général vx reste non nulle et ay=−g. La vitesse totale n’est donc pas nulle pour un tir non vertical.
Exercice 3
Un projectile retombe à l’altitude de départ, avec v₀=10 m/s et θ=45°. Avec g=10 m/s², calculer la portée.
Un indice
Appliquer la formule seulement sous les hypothèses indiquées.
Voir la correction
La portée vaut v₀² sin(90°)/g=100/10=10 m.
Les erreurs à éviter
- Choisir le signe de g selon l’orientation de l’axe, sans changer ce choix en cours de calcul.
- Au sommet, seule la composante verticale de la vitesse s’annule pour un tir oblique.
- La formule simple de portée suppose des altitudes de départ et d’arrivée identiques.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Physique ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.