في النهاية ستتمكن من
- كتابة معادلة تفريغ متذبذب حر.
- حساب الدور الخاص لنموذج LC.
- التمييز بين الدور الخاص وشبه الدور المخمد.
قبل أن تبدأ
المكثف والتحريض وقانون جمع التوترات والمشتقات والطاقة.
افهم
اختيار المتغير والنموذج
في دارة حرة على التوالي دون مولد، تضم L وC ومقاومة كلية R، نختار الشحنة q بحيث i=dq/dt. باتجاهات منسجمة للتوترات، يعطي قانون جمع التوترات Lq″+Rq′+q/C=0. بالقسمة على L نجد q″+(R/L)q′+q/(LC)=0.
تبادل مثالي في LC
إذا كان R=0، فالنبض الخاص ω₀=1/√(LC) والدور الخاص T₀=2π√(LC). الطاقة الكلية q²/(2C)+Li²/2 ثابتة، وتتبادل بين الشكل الكهربائي في المكثف والمغناطيسي في الوشيعة. عند شحنة قصوى أو دنيا يكون i=0، وعند q=0 تكون القيمة المطلقة للتيار قصوى.
التخميد في RLC
إذا كان R>0 فالقدرة المبددة Ri² والطاقة الكلية متناقصة. يكون النظام شبه دوري إذا كان R<2√(L/C)، مع ωd=√(1/(LC)−(R/(2L))²). شبه الدور T=2π/ωd أكبر من T₀. عند تجاوز العتبة لا تبقى تذبذبات حرة وفق النموذج، فلا نسمي كل تناقص تذبذباً.
مثال محلول خطوة بخطوة
في دارة LC مثالية، L=0,10 H وC=10 µF. المكثف مشحون بدئياً تحت 5,0 V والتيار البدئي منعدم. احسب T₀ والتيار الأقصى.
- C=1,0×10⁻⁵ F وLC=1,0×10⁻⁶ s².
- T₀=2π√(LC)=2π×10⁻³ s≈6,28 ms.
- الطاقة البدئية E=CU₀²/2=1,25×10⁻⁴ J.
- عند q=0، لدينا L i max²/2=E. إذن i max=U₀√(C/L)=0,050 A، أي 50 mA.
حان دورك
تمرين 1
إذا ضربنا C في 4 مع ثبات L في LC مثالية، كيف يتغير T₀؟
تلميح
يتناسب الدور مع √C.
عرض التصحيح
يضرب T₀ في 2.
تمرين 2
إذا كان L=0,10 H وC=10 µF، احسب عتبة المقاومة بين النظام المتذبذب وغير المتذبذب.
تلميح
استعمل المقاومة الحرجة 2√(L/C).
عرض التصحيح
المقاومة الحرجة 2√(0,10/10⁻⁵)=200 Ω. يكون النظام شبه دوري إذا كان R<200 Ω وفق النموذج.
تمرين 3
في دارة RLC حرة حقيقية يتناقص الوسع. هل تنحفظ الطاقة الكلية في L وC؟
تلميح
اربط الفقد الطاقي بمفعول جول.
عرض التصحيح
لا. مشتقتها −Ri². تبدد المقاومة الطاقة التي تتحول حرارياً ولا تتلف.
أخطاء ينبغي تجنبها
- استعمل المقاومة الكلية بما فيها مقاومة الوشيعة.
- لا تنسب T₀ بالضبط لتذبذب مخمد.
- حول الميكروفاراد إلى الفاراد.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من Dars +. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الفيزياء ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.