À la fin, vous saurez
- Écrire l’équation d’une décharge oscillante libre.
- Calculer la période propre du modèle LC.
- Distinguer période propre et pseudo-période amortie.
Avant de commencer
Condensateur, inductance, loi des mailles, dérivées et énergie.
Comprendre
Choisir une variable et un modèle
Dans un circuit série libre, sans générateur, contenant L, C et une résistance totale R, on choisit une charge q telle que i=dq/dt. Avec une orientation cohérente des tensions, la loi des mailles donne Lq″+Rq′+q/C=0. En divisant par L : q″+(R/L)q′+q/(LC)=0.
Échange idéal dans LC
Si R=0, la pulsation propre est ω₀=1/√(LC) et la période propre T₀=2π√(LC). L’énergie totale q²/(2C)+Li²/2 est constante. Elle passe de la forme électrique dans le condensateur à la forme magnétique dans la bobine. À charge extrême, i=0 ; à q=0, la valeur absolue du courant est maximale.
Amortissement dans RLC
Pour R>0, la puissance dissipée vaut Ri² et l’énergie totale décroît. Le régime est pseudo-périodique si R<2√(L/C), avec ωd=√(1/(LC)−(R/(2L))²). La pseudo-période T=2π/ωd est supérieure à T₀. Au-delà du seuil, il n’y a plus d’oscillations libres dans ce modèle ; appeler toute décroissance une oscillation est incorrect.
Exemple guidé
Dans un circuit LC idéal, L=0,10 H et C=10 µF. Le condensateur est initialement chargé sous 5,0 V et le courant initial est nul. Calculer T₀ et le courant maximal.
- C=1,0×10⁻⁵ F ; LC=1,0×10⁻⁶ s².
- T₀=2π√(LC)=2π×10⁻³ s≈6,28 ms.
- L’énergie initiale est E=CU₀²/2=1,25×10⁻⁴ J.
- Au passage par q=0, Li max²/2=E. Donc i max=U₀√(C/L)=0,050 A, soit 50 mA.
À vous de jouer
Exercice 1
Si C est multipliée par 4 et L reste constante dans LC idéal, comment varie T₀ ?
Un indice
La période est proportionnelle à √C.
Voir la correction
T₀ est multipliée par 2.
Exercice 2
Pour L=0,10 H et C=10 µF, calculer le seuil de résistance entre régimes oscillant et non oscillant.
Un indice
Utiliser R critique=2√(L/C).
Voir la correction
R critique=2√(0,10/10⁻⁵)=200 Ω. Le régime est pseudo-périodique pour R<200 Ω dans ce modèle.
Exercice 3
Dans un circuit RLC libre réel, l’amplitude diminue. L’énergie totale du circuit L et C est-elle conservée ?
Un indice
Relier la perte d’énergie à l’effet Joule.
Voir la correction
Non. Sa dérivée vaut −Ri². L’énergie est dissipée par la résistance ; elle n’est pas détruite mais transférée thermiquement.
Les erreurs à éviter
- Utiliser la résistance totale, y compris celle de la bobine.
- Ne pas attribuer T₀ exactement à une oscillation amortie.
- Convertir les microfarads en farads.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Physique ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.