في النهاية ستتمكن من
- التمييز بين الصيغة الصريحة والعلاقة التراجعية.
- تحويل علاقة تراجعية تآلفية إلى متتالية هندسية.
- تبرير التقارب عندما |q|<1.
قبل أن تبدأ
المتتاليات الحسابية والهندسية والقوى وحل معادلة من الدرجة الأولى.
افهم
تحديد الرتبة الأولى
تعطي الصيغة الصريحة الحد مباشرة، أما العلاقة التراجعية فتستعمل حداً سابقاً أو أكثر. إذا كان u₀ هو الحد الأول، فإن المتتالية الحسابية ذات الأساس r تحقق uₙ=u₀+nr، والمتتالية الهندسية ذات الأساس q تحقق uₙ=u₀qⁿ. إذا بدأ الترقيم من 1 يصبح الأس n−1.
البحث عن نقطة ثابتة
إذا كان uₙ₊₁=auₙ+b مع a≠1، فإن حل ℓ=aℓ+b يعطي ℓ=b/(1−a). نضع vₙ=uₙ−ℓ فنجد vₙ₊₁=avₙ، ومنه uₙ=ℓ+(u₀−ℓ)aⁿ. يجب إثبات هذه العلاقة انطلاقاً من العلاقة التراجعية.
استنتاج النهاية
إذا كان |a|<1 فإن aⁿ→0 ومنه uₙ→ℓ. عندما يكون a سالباً قد تتناوب الحدود حول ℓ دون رتابة. إذا كان |a|≥1 فلا نستنتج التقارب تلقائياً؛ مثلاً تعطي a=−1 تذبذباً في الحالة العامة. وجود نقطة ثابتة وحده لا يثبت التقارب.
مثال محلول خطوة بخطوة
لتكن u₀=2 وuₙ₊₁=0,5uₙ+3 لكل n≥0. حدد uₙ ونهايتها.
- تحقق النقطة الثابتة ℓ=0,5ℓ+3، ومنه ℓ=6.
- نضع vₙ=uₙ−6. عندئذ vₙ₊₁=0,5(uₙ−6)=0,5vₙ وv₀=−4.
- إذن vₙ=−4(0,5)ⁿ وuₙ=6−4(0,5)ⁿ. الحدود الأولى هي 2 ثم 4 ثم 5.
- بما أن (0,5)ⁿ→0، فالنهاية تساوي 6. كما أن uₙ₊₁−uₙ=2(0,5)ⁿ>0، فالمتتالية تزايدية وتبقى أصغر من 6.
حان دورك
تمرين 1
متتالية حسابية حدها الأول u₀=5 وأساسها r=−2. احسب u₄.
تلميح
استعمل uₙ=u₀+nr.
عرض التصحيح
u₄=5+4×(−2)=−3.
تمرين 2
متتالية هندسية تحقق u₁=3 وأساسها q=2. احسب u₅.
تلميح
الرتبة الأولى هي 1 وليست 0.
عرض التصحيح
u₅=u₁q⁴=3×16=48.
تمرين 3
لتكن w₀=3 وwₙ₊₁=−0,5wₙ+3. حدد نهايتها وهل هي رتيبة.
تلميح
ابحث عن ℓ ثم عبر عن wₙ−ℓ.
عرض التصحيح
نجد ℓ=2 وwₙ=2+(−0,5)ⁿ. النهاية تساوي 2 لأن |−0,5|<1. الحدود الأولى 3 ثم 1,5 ثم 2,25 تبين أنها ليست تزايدية ولا تناقصية.
أخطاء ينبغي تجنبها
- تحقق هل يبدأ الترقيم من u₀ أو من u₁.
- لا تخلط بين الأساس الجمعي والأساس الضربي.
- حل معادلة النقطة الثابتة لا يكفي لإثبات التقارب.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من Dars +. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.