À la fin, vous saurez
- Distinguer formule explicite et récurrence.
- Transformer une récurrence affine en suite géométrique.
- Justifier une convergence avec |q|<1.
Avant de commencer
Suites arithmétiques et géométriques, puissances et résolution d’une équation du premier degré.
Comprendre
Lire l’indice de départ
Une formule explicite donne un terme directement ; une récurrence utilise un ou plusieurs termes précédents. Si u₀ est le premier terme, une suite arithmétique de raison r vérifie uₙ=u₀+nr. Une suite géométrique de raison q vérifie uₙ=u₀qⁿ. Avec un départ à 1, l’exposant devient n−1.
Chercher un point fixe
Pour uₙ₊₁=auₙ+b avec a≠1, résoudre ℓ=aℓ+b donne ℓ=b/(1−a). Poser vₙ=uₙ−ℓ permet d’obtenir vₙ₊₁=avₙ, donc uₙ=ℓ+(u₀−ℓ)aⁿ. Cette identité doit être démontrée à partir de la récurrence.
Conclure sur la limite
Si |a|<1, alors aⁿ→0 et uₙ→ℓ. Pour a négatif, les termes peuvent alterner autour de ℓ sans être monotones. Pour |a|≥1, cette conclusion n’est pas automatique ; par exemple, a=−1 donne généralement une oscillation. Chercher un point fixe ne prouve donc pas à lui seul la convergence.
Exemple guidé
Soit u₀=2 et uₙ₊₁=0,5uₙ+3 pour n≥0. Exprimer uₙ et trouver sa limite.
- Le point fixe satisfait ℓ=0,5ℓ+3, d’où ℓ=6.
- Posons vₙ=uₙ−6. Alors vₙ₊₁=0,5(uₙ−6)=0,5vₙ et v₀=−4.
- Ainsi vₙ=−4(0,5)ⁿ et uₙ=6−4(0,5)ⁿ. Les premiers termes sont 2 ; 4 ; 5.
- Comme (0,5)ⁿ→0, la limite vaut 6. De plus uₙ₊₁−uₙ=2(0,5)ⁿ>0 : la suite croît et reste inférieure à 6.
À vous de jouer
Exercice 1
Une suite arithmétique a u₀=5 et r=−2. Calculer u₄.
Un indice
Utiliser uₙ=u₀+nr.
Voir la correction
u₄=5+4×(−2)=−3.
Exercice 2
Une suite géométrique a u₁=3 et q=2. Calculer u₅.
Un indice
Le premier indice est 1, pas 0.
Voir la correction
u₅=u₁q⁴=3×16=48.
Exercice 3
Soit w₀=3 et wₙ₊₁=−0,5wₙ+3. Trouver la limite et dire si la suite est monotone.
Un indice
Chercher ℓ puis exprimer wₙ−ℓ.
Voir la correction
ℓ=2 et wₙ=2+(−0,5)ⁿ. La limite vaut 2 car |−0,5|<1. Les premiers termes 3 ; 1,5 ; 2,25 montrent qu’elle n’est ni croissante ni décroissante.
Les erreurs à éviter
- Vérifier si le premier terme est u₀ ou u₁.
- Ne pas confondre raison additive et multiplicative.
- Ne pas supposer la convergence simplement en résolvant l’équation du point fixe.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.