À la fin, vous saurez
- Calculer une limite finie en vérifiant les hypothèses.
- Lever une forme 0/0 par factorisation.
- Distinguer limite et continuité en un point.
Avant de commencer
Factorisation, fractions et domaine de définition d’une fonction.
Comprendre
Commencer par le domaine
On étudie les valeurs de f(x) pour x proche de a, avec x≠a et x dans le domaine. Une limite en a ne donne pas nécessairement f(a). Une fonction polynomiale est continue sur ℝ ; une fonction rationnelle est continue là où son dénominateur ne s’annule pas.
Substitution et forme 0/0
Pour un quotient de fonctions ayant des limites finies, on peut diviser les limites si celle du dénominateur est non nulle. La forme 0/0 n’est pas un résultat : factoriser, puis simplifier pour x≠a, permet parfois de trouver la limite.
Continuité et limites latérales
f est continue en a si f(a) est définie et si lim f(x), quand x→a, vaut f(a). Pour une limite bilatérale finie, les limites à gauche et à droite doivent exister et être égales. Si elles diffèrent, il n’y a pas de limite bilatérale. Un prolongement par continuité attribue au point manquant la valeur de la limite finie, si elle existe.
Exemple guidé
Pour x≠2, soit f(x)=(x²−4)/(x−2). Calculer sa limite en 2 et proposer un prolongement continu.
- Le domaine de f est ℝ privé de 2. La substitution donne la forme indéterminée 0/0.
- Factoriser x²−4=(x−2)(x+2). Pour x≠2, f(x)=x+2.
- Quand x→2, x+2→4 : la limite de f en 2 est donc 4.
- La fonction initiale n’est pas définie en 2. Définir g(x)=f(x) pour x≠2 et g(2)=4 donne g(x)=x+2 sur ℝ, donc un prolongement continu.
À vous de jouer
Exercice 1
Calculer lim (x²−9)/(x−3) quand x→3.
Un indice
Factoriser une différence de carrés.
Voir la correction
Pour x≠3, (x²−9)/(x−3)=x+3. La limite vaut 6.
Exercice 2
Calculer les limites de 1/x en 0 à droite et à gauche. Existe-t-il une limite bilatérale ?
Un indice
Examiner le signe de x de chaque côté de 0.
Voir la correction
À droite, 1/x→+∞ ; à gauche, 1/x→−∞. Les limites latérales diffèrent : il n’existe pas de limite bilatérale en 0.
Exercice 3
Soit h(x)=(x²−1)/(x−1) pour x≠1 et h(1)=3. h est-elle continue en 1 ? Quelle valeur faudrait-il choisir ?
Un indice
Comparer la limite à la valeur au point.
Voir la correction
Pour x≠1, h(x)=x+1, donc lim h(x)=2 quand x→1. Comme h(1)=3, h n’est pas continue en 1. Choisir h(1)=2 rétablit la continuité.
Les erreurs à éviter
- Ne pas traiter 0/0 comme zéro ou comme un nombre.
- Ne pas simplifier par x−a au point a lui-même.
- Ne pas confondre une limite existante avec une valeur de fonction définie.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.