À la fin, vous saurez
- Vérifier les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires.
- Ajouter un argument de monotonie pour l’unicité.
- Encadrer une solution par des valeurs de signes opposés.
Avant de commencer
Continuité, signe d’une fonction, dérivation et monotonie.
Comprendre
Passer entre deux valeurs
Si f est continue sur [a,b], toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois sur [a,b]. En particulier, si f(a)f(b)<0, il existe au moins une solution de f(x)=0 dans ]a,b[. La continuité sur tout l’intervalle est une hypothèse essentielle.
Prouver l’unicité séparément
Le théorème assure une existence, pas toujours l’unicité. Si f est en plus strictement monotone sur [a,b], elle ne peut prendre la même valeur en deux points distincts : la solution est alors unique. Une dérivée strictement positive sur l’intervalle est un moyen de justifier une croissance stricte.
Encadrer sans confondre exact et approché
Après existence et unicité, on peut calculer des valeurs de signes opposés de part et d’autre de la solution. La dichotomie consiste à tester le milieu et conserver un sous-intervalle contenant une solution. La largeur de l’intervalle est divisée par deux à chaque étape ; elle ne donne pas automatiquement toutes les décimales exactes de la solution.
Exemple guidé
Montrer que f(x)=x³+x−1 possède une unique racine sur [0,1], puis l’encadrer à 0,01 près.
- f est polynomiale, donc continue sur [0,1]. f(0)=−1 et f(1)=1.
- Le changement de signe donne au moins une racine dans ]0,1[.
- f′(x)=3x²+1>0 : f est strictement croissante, donc cette racine est unique.
- f(0,68)=−0,005568 et f(0,69)=0,018509. La racine appartient à ]0,68;0,69[, intervalle de largeur 0,01.
À vous de jouer
Exercice 1
Justifier que x²=2 a une unique solution sur [0,2].
Un indice
Étudier g(x)=x²−2 et la croissance de x² sur cet intervalle.
Voir la correction
g est continue, g(0)=−2 et g(2)=2 : une racine existe. x² est strictement croissante sur [0,2], donc la solution y est unique.
Exercice 2
Sur [−1,1], h vaut −1 si x<0 et 1 si x≥0. Le signe change entre les bornes : h a-t-elle une racine ?
Un indice
Vérifier la continuité au lieu d’utiliser seulement les bornes.
Voir la correction
Non, h ne vaut jamais 0. Elle est discontinue en 0 ; les hypothèses du théorème ne sont pas satisfaites.
Exercice 3
Pour f(x)=x²−1 sur [−2,2], les valeurs aux bornes sont positives. Peut-on conclure à l’absence de racine ?
Un indice
Chercher des valeurs intérieures ou factoriser.
Voir la correction
Non. f(−1)=f(1)=0. Le changement de signe aux bornes est une condition suffisante dans le cas continu, pas une condition nécessaire pour toute racine.
Les erreurs à éviter
- Ne pas affirmer l’unicité à partir d’un simple changement de signe.
- Vérifier la continuité sur tout l’intervalle.
- Un encadrement décimal n’est pas une valeur exacte.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.