في النهاية ستتمكن من
- فحص فرضيات مبرهنة القيم الوسيطية.
- إضافة حجة رتابة لإثبات الوحدانية.
- حصر حل باستعمال قيمتين مختلفتي الإشارة.
قبل أن تبدأ
الاتصال وإشارة دالة والاشتقاق والرتابة.
افهم
المرور بين قيمتين
إذا كانت f متصلة على [a,b]، فإن كل قيمة بين f(a) وf(b) تتحقق مرة واحدة على الأقل على [a,b]. خصوصاً إذا كان f(a)f(b)<0 فهناك حل واحد على الأقل لf(x)=0 داخل ]a,b[. الاتصال على المجال كله فرضية أساسية.
إثبات الوحدانية منفصلاً
تضمن المبرهنة الوجود وليس الوحدانية دائماً. إذا كانت f رتيبة قطعاً على [a,b] فلا تأخذ القيمة نفسها عند نقطتين مختلفتين، فيكون الحل وحيداً. المشتقة الموجبة قطعاً على المجال وسيلة لتبرير التزايد القطعي.
الحصر والتقريب
بعد إثبات الوجود والوحدانية نحسب قيمتين مختلفتي الإشارة على جانبي الحل. في طريقة التنصيف نختبر منتصف المجال ونحتفظ بنصف يحتوي حلاً. ينقسم عرض المجال على اثنين في كل خطوة، ولا يحدد تلقائياً كل الأرقام العشرية الدقيقة للحل.
مثال محلول خطوة بخطوة
أثبت أن f(x)=x³+x−1 لها جذر وحيد على [0,1] ثم احصره في مجال عرضه 0,01.
- الدالة حدودية فمتصلة على [0,1]. لدينا f(0)=−1 وf(1)=1.
- يعطي اختلاف الإشارة جذراً واحداً على الأقل داخل ]0,1[.
- f′(x)=3x²+1>0، لذلك f تزايدية قطعاً والجذر وحيد.
- f(0,68)=−0,005568 وf(0,69)=0,018509. ينتمي الجذر إلى ]0,68;0,69[، وعرضه 0,01.
حان دورك
تمرين 1
برر أن x²=2 لها حل وحيد على [0,2].
تلميح
ادرس g(x)=x²−2 وتزايد x² على المجال.
عرض التصحيح
g متصلة وg(0)=−2 وg(2)=2، فيوجد جذر. الدالة x² تزايدية قطعاً على [0,2]، فالحل وحيد عليه.
تمرين 2
على [−1,1]، تساوي h القيمة −1 إذا كان x<0 والقيمة 1 إذا كان x≥0. الإشارة مختلفة عند الطرفين، فهل يوجد جذر؟
تلميح
افحص الاتصال ولا تكتف بقيم الطرفين.
عرض التصحيح
لا، لا تأخذ h القيمة 0 أبداً. هي غير متصلة عند 0 فلا تتحقق فرضيات المبرهنة.
تمرين 3
للدالة f(x)=x²−1 على [−2,2]، القيمتان عند الطرفين موجبتان. هل نستنتج غياب الجذور؟
تلميح
ابحث عن قيم داخلية أو فكك التعبير.
عرض التصحيح
لا. لدينا f(−1)=f(1)=0. اختلاف إشارة الطرفين شرط كاف في الحالة المتصلة وليس شرطاً ضرورياً لكل جذر.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تثبت الوحدانية بمجرد اختلاف الإشارة.
- تحقق من الاتصال على المجال كله.
- الحصر العشري ليس قيمة دقيقة للحل.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.