في النهاية ستتمكن من
- حساب نهاية منتهية مع التحقق من الشروط.
- إزالة حالة عدم التعيين 0/0 بالتفكيك.
- التمييز بين النهاية والاتصال عند نقطة.
قبل أن تبدأ
تفكيك التعابير والكسور ومجموعة تعريف الدالة.
افهم
البدء بمجموعة التعريف
ندرس قيم f(x) عندما يقترب x من a مع x≠a وانتماء x إلى مجموعة التعريف. وجود نهاية عند a لا يحدد بالضرورة f(a). كل دالة حدودية متصلة على ℝ، والدالة الكسرية متصلة حيث لا ينعدم مقامها.
التعويض والحالة 0/0
إذا كانت للبسط والمقام نهايتان منتهيتان وكانت نهاية المقام غير منعدمة، فنهاية الخارج هي خارج النهايتين. أما 0/0 فهي حالة عدم تعيين وليست نتيجة. قد يسمح التفكيك ثم الاختزال عندما x≠a بحساب النهاية.
الاتصال والنهايات الجانبية
تكون f متصلة عند a إذا كانت f(a) معرفة وكانت نهاية f(x) عندما x→a تساوي f(a). لوجود نهاية منتهية من الجهتين، يجب أن توجد النهايتان اليمنى واليسرى وتتساويا. إذا اختلفتا فلا توجد نهاية من الجهتين. للتمديد بالاتصال نعطي الدالة عند النقطة الناقصة قيمة نهايتها المنتهية، إن وجدت.
مثال محلول خطوة بخطوة
لتكن f(x)=(x²−4)/(x−2) عندما x≠2. احسب نهايتها عند 2 واقترح تمديداً متصلاً.
- مجموعة تعريف f هي ℝ باستثناء 2. يعطي التعويض حالة عدم التعيين 0/0.
- نفكك x²−4=(x−2)(x+2). عندما x≠2 نحصل على f(x)=x+2.
- عندما x→2 فإن x+2→4، ومنه نهاية f عند 2 تساوي 4.
- الدالة الأصلية غير معرفة عند 2. بتعريف g(x)=f(x) عندما x≠2 وg(2)=4، نحصل على g(x)=x+2 على ℝ، وهو تمديد متصل.
حان دورك
تمرين 1
احسب نهاية (x²−9)/(x−3) عندما x→3.
تلميح
فكك فرق مربعين.
عرض التصحيح
عندما x≠3 فإن (x²−9)/(x−3)=x+3. النهاية تساوي 6.
تمرين 2
احسب نهايتي 1/x عند 0 يميناً ويساراً. هل توجد نهاية من الجهتين؟
تلميح
ادرس إشارة x في كل جهة من 0.
عرض التصحيح
يميناً، 1/x→+∞؛ ويساراً، 1/x→−∞. النهايتان الجانبيتان مختلفتان، لذلك لا توجد نهاية من الجهتين عند 0.
تمرين 3
لتكن h(x)=(x²−1)/(x−1) عندما x≠1 وh(1)=3. هل h متصلة عند 1؟ ما القيمة المناسبة للاتصال؟
تلميح
قارن النهاية بقيمة الدالة عند النقطة.
عرض التصحيح
عندما x≠1 فإن h(x)=x+1، ومنه نهايتها عند 1 تساوي 2. بما أن h(1)=3 فهي غير متصلة عند 1. اختيار h(1)=2 يحقق الاتصال.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تعتبر 0/0 صفراً أو عدداً.
- لا تختزل بالعامل x−a عند النقطة a نفسها.
- لا تخلط بين وجود نهاية وكون قيمة الدالة معرفة.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من Dars +. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.