في النهاية ستتمكن من
- التحقق من دالة أصلية بالاشتقاق.
- حساب تكامل باستعمال F(b)−F(a).
- التمييز بين التكامل الموقع والمساحة الهندسية.
قبل أن تبدأ
اشتقاق الدوال الحدودية وexp وln، وإشارة الدالة واتصالها.
افهم
التعرف على دالة أصلية
تكون F دالة أصلية للدالة f على مجال I إذا كانت F′=f. تختلف الدوال الأصلية على المجال نفسه بثابت. لكل عدد صحيح n≥0، تكون xⁿ⁺¹/(n+1) دالة أصلية للدالة xⁿ. والدالة exp(x) أصلية لنفسها؛ وعلى ]0,+∞[، تكون ln(x) دالة أصلية للدالة 1/x.
حساب تكامل
إذا كانت f متصلة على [a,b] وكانت F دالة أصلية لها، فإن ∫ₐᵇ f(x) dx=F(b)−F(a). يزول الثابت المضاف إلى F عند حساب الفرق. تسمح خطية التكامل بتكامل المجموع حداً حداً وإخراج العوامل الثابتة.
تفسير الإشارة
إذا كان a≤b وكانت f≥0 على [a,b]، فإن التكامل يمثل المساحة تحت المنحنى بوحدات المساحة. إذا تغيرت إشارة f فالتكامل حصيلة موقعة. لحساب المساحة الهندسية بين المنحنى والمحور، نقسم عند تغيرات الإشارة ونجمع المساحات الموجبة، أي نحسب تكامل |f|. تبديل حدي التكامل يغير إشارته.
مثال محلول خطوة بخطوة
احسب ∫₀² (3x²−2x+1) dx وفسر النتيجة.
- دالة أصلية هي F(x)=x³−x²+x، لأن مشتقتها تساوي 3x²−2x+1.
- لدينا F(2)=8−4+2=6 وF(0)=0.
- إذن التكامل يساوي F(2)−F(0)=6.
- بما أن 3x²−2x+1=3(x−1/3)²+2/3>0، فالنتيجة هي أيضاً المساحة تحت المنحنى بين 0 و2 بوحدات المساحة.
حان دورك
تمرين 1
حدد جميع الدوال الأصلية للدالة 4x−3 على ℝ، ثم الدالة التي قيمتها عند 0 تساوي 5.
تلميح
كامل كل حد واحتفظ بثابت C.
عرض التصحيح
لدينا F(x)=2x²−3x+C. الشرط F(0)=5 يعطي C=5، ومنه F(x)=2x²−3x+5.
تمرين 2
احسب ∫₁ᵉ (1/x) dx.
تلميح
على [1,e]، تكون ln(x) دالة أصلية للدالة 1/x.
عرض التصحيح
الدالة 1/x متصلة على [1,e]. يساوي التكامل ln(e)−ln(1)=1.
تمرين 3
احسب ∫₋₁¹ x dx، ثم المساحة بين المستقيم y=x والمحور على [−1,1].
تلميح
لحساب المساحة افصل بين [−1,0] و[0,1].
عرض التصحيح
باستعمال الدالة الأصلية x²/2 نحصل على التكامل 1/2−1/2=0. على [−1,0] يقع المنحنى تحت المحور ومساحته 1/2؛ وعلى [0,1] مساحته 1/2. المساحة الكلية تساوي وحدة مساحة واحدة.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تنس الثابت عند تحديد جميع الدوال الأصلية.
- لا تعكس ترتيب F(b) وF(a).
- انعدام التكامل لا يعني انعدام المساحة الهندسية.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.