À la fin, vous saurez
- Vérifier une primitive par dérivation.
- Calculer une intégrale avec F(b)−F(a).
- Distinguer intégrale signée et aire géométrique.
Avant de commencer
Dérivation des polynômes, de exp et de ln ; signe d’une fonction et continuité.
Comprendre
Reconnaître une primitive
Sur un intervalle I, F est une primitive de f si F′=f. Toutes les primitives sur I diffèrent d’une constante. Pour un entier n≥0, une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1). Une primitive de exp(x) est exp(x) ; sur ]0,+∞[, une primitive de 1/x est ln(x).
Calculer une intégrale
Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors ∫ₐᵇ f(x) dx=F(b)−F(a). Les constantes ajoutées à F s’annulent dans cette différence. La linéarité permet d’intégrer les sommes terme à terme et de sortir les facteurs constants.
Interpréter le signe
Pour a≤b et f≥0 sur [a,b], l’intégrale représente l’aire sous la courbe en unités d’aire. Si f change de signe, l’intégrale est un bilan signé. Pour l’aire géométrique entre la courbe et l’axe, découper aux changements de signe et additionner les aires positives, soit intégrer |f|. Inverser les bornes change le signe de l’intégrale.
Exemple guidé
Calculer ∫₀² (3x²−2x+1) dx et interpréter le résultat.
- Une primitive est F(x)=x³−x²+x : sa dérivée est bien 3x²−2x+1.
- F(2)=8−4+2=6 et F(0)=0.
- L’intégrale vaut F(2)−F(0)=6.
- Comme 3x²−2x+1=3(x−1/3)²+2/3>0, ce résultat est aussi l’aire sous la courbe entre 0 et 2, en unités d’aire.
À vous de jouer
Exercice 1
Trouver toutes les primitives de 4x−3 sur ℝ, puis celle qui vaut 5 en 0.
Un indice
Intégrer terme à terme et conserver une constante C.
Voir la correction
F(x)=2x²−3x+C. La condition F(0)=5 donne C=5, donc F(x)=2x²−3x+5.
Exercice 2
Calculer ∫₁ᵉ (1/x) dx.
Un indice
Sur [1,e], ln(x) est une primitive de 1/x.
Voir la correction
La fonction 1/x est continue sur [1,e]. L’intégrale vaut ln(e)−ln(1)=1.
Exercice 3
Calculer ∫₋₁¹ x dx, puis l’aire entre y=x et l’axe sur [−1,1].
Un indice
Séparer les intervalles [−1,0] et [0,1] pour l’aire.
Voir la correction
La primitive x²/2 donne une intégrale de 1/2−1/2=0. Sur [−1,0], la courbe est sous l’axe : l’aire vaut 1/2 ; sur [0,1], elle vaut 1/2. L’aire totale vaut 1 unité d’aire.
Les erreurs à éviter
- Ne pas oublier la constante pour décrire toutes les primitives.
- Ne pas inverser F(b) et F(a).
- Une intégrale nulle ne signifie pas que l’aire géométrique est nulle.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.