في النهاية ستتمكن من
- تحديد التقاطعات وإشارة f−g.
- تكامل الفرق بين الدالة العليا والسفلى.
- التمييز بين مساحة موجبة وتكامل موقع.
قبل أن تبدأ
التكامل المحدد والدوال الأصلية وإشارة جداء وحل المعادلات.
افهم
اختيار المجال
إذا كانت f وg متصلتين على [a,b]، فالمساحة بين منحنييهما والمستقيمين x=a وx=b هي ∫ₐᵇ |f(x)−g(x)| dx بوحدات المساحة في معلم متعامد ممنظم بوحدة واحدة. يساعد البحث عن أصفار f−g على تحديد تغير وضع المنحنيين.
التقسيم عند تغير الإشارة
على مجال حيث f≥g نكامل f−g، وحيث g≥f نكامل g−f، ثم نجمع المساحات الموجبة. لا يكفي حل f=g، بل ندرس الإشارة بين النقط لأن بعض التقاطعات لا تغير الإشارة.
تفسير الوحدات
قد ينعدم التكامل الموقع بينما تبقى المساحة الهندسية موجبة. إذا مثلت الوحدة الأفقية والعمودية طولين مختلفين على رسم، نضرب المساحة بوحدات المساحة في جداء هذين الطولين للحصول على مساحة فعلية. لا نطرح مساحتين موجبتين لحساب المساحة الكلية.
مثال محلول خطوة بخطوة
احسب المساحة بين y=x وy=x² على [0,1].
- تحقق التقاطعات x²=x، ومنه x=0 أوx=1.
- على [0,1] لدينا x−x²=x(1−x)≥0، فالمستقيم فوق القطع المكافئ.
- المساحة ∫₀¹ (x−x²) dx=[x²/2−x³/3]₀¹.
- نحصل على 1/2−1/3=1/6 وحدة مساحة، وهي نتيجة موجبة.
حان دورك
تمرين 1
احسب المساحة بين y=x² وy=x على [−1,2].
تلميح
تتغير إشارة x²−x عند 0 و1.
عرض التصحيح
على [−1,0] و[1,2] نكامل x²−x، وعلى [0,1] نكامل x−x². المساحات الثلاث 5/6 و1/6 و5/6، فالمجموع 11/6 وحدة مساحة.
تمرين 2
احسب المساحة بين y=2 وy=x على [0,2].
تلميح
الدالة 2 فوق x على المجال.
عرض التصحيح
المساحة ∫₀²(2−x) dx=[2x−x²/2]₀²=2 وحدتا مساحة.
تمرين 3
مساحة محسوبة تساوي 3 وحدات مساحة. في الرسم الوحدة الأفقية 2 cm والعمودية 1,5 cm. ما المساحة بcm²؟
تلميح
اضرب في جداء سلمي الطول.
عرض التصحيح
وحدة المساحة 2×1,5=3 cm²، فمساحة الرسم 3×3=9 cm².
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تستعمل ∫(f−g) لمساحة دون دراسة الإشارة.
- التقاطع وحده لا يضمن تغير الإشارة.
- لا تنس جداء السلمين عند حساب مساحة رسم.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من Dars +. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.