À la fin, vous saurez
- Déterminer les intersections et le signe de f−g.
- Intégrer la différence supérieure moins inférieure.
- Distinguer aire positive et intégrale signée.
Avant de commencer
Intégrale définie, primitives, signe d’un produit et résolution d’équations.
Comprendre
Choisir le bon intervalle
Si f et g sont continues sur [a,b], l’aire entre leurs courbes et les droites x=a et x=b vaut ∫ₐᵇ |f(x)−g(x)| dx, en unités d’aire dans un repère orthonormé gradué à l’unité. Chercher les zéros de f−g aide à trouver les changements de position des courbes.
Découper quand le signe change
Sur un sous-intervalle où f≥g, intégrer f−g. Là où g≥f, intégrer g−f. Additionner ensuite les aires positives. Résoudre f=g ne suffit pas : il faut vérifier le signe entre les points trouvés, car toutes les intersections ne correspondent pas à un changement de signe.
Interpréter les unités
Une intégrale signée peut être nulle alors que l’aire géométrique est positive. Si une unité horizontale et une unité verticale représentent des longueurs différentes sur un dessin, multiplier l’aire en unités d’aire par le produit de ces deux longueurs pour obtenir une aire physique. On ne soustrait pas deux aires positives pour calculer une aire totale.
Exemple guidé
Calculer l’aire entre y=x et y=x² sur [0,1].
- Les intersections satisfont x²=x, donc x=0 ou x=1.
- Sur [0,1], x−x²=x(1−x)≥0 : la droite est au-dessus de la parabole.
- L’aire vaut ∫₀¹ (x−x²) dx=[x²/2−x³/3]₀¹.
- On obtient 1/2−1/3=1/6 unité d’aire. Le résultat est positif.
À vous de jouer
Exercice 1
Calculer l’aire entre y=x² et y=x sur [−1,2].
Un indice
Le signe de x²−x change en 0 et en 1.
Voir la correction
Sur [−1,0] et [1,2], intégrer x²−x ; sur [0,1], intégrer x−x². Les trois aires valent 5/6, 1/6 et 5/6, donc l’aire totale vaut 11/6 unités d’aire.
Exercice 2
Calculer l’aire entre y=2 et y=x sur [0,2].
Un indice
La fonction 2 est au-dessus de x sur l’intervalle.
Voir la correction
L’aire vaut ∫₀²(2−x) dx=[2x−x²/2]₀²=2 unités d’aire.
Exercice 3
Une aire calculée vaut 3 unités d’aire. Sur le dessin, une unité horizontale vaut 2 cm et une verticale 1,5 cm. Quelle aire en cm² ?
Un indice
Multiplier par le produit des échelles de longueur.
Voir la correction
Une unité d’aire vaut 2×1,5=3 cm². L’aire du dessin vaut 3×3=9 cm².
Les erreurs à éviter
- Ne pas utiliser ∫(f−g) sans vérifier le signe si l’on cherche une aire.
- Une intersection ne garantit pas à elle seule un changement de signe.
- Ne pas oublier le produit des deux échelles pour une aire sur un dessin.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.