À la fin, vous saurez
- Retrouver la formule à partir de la dérivée d’un produit.
- Choisir u et une primitive v de v′.
- Évaluer les termes aux deux bornes.
Avant de commencer
Dérivation d’un produit, primitives usuelles et calcul d’intégrales définies.
Comprendre
Une formule issue du produit
Si u et v sont de classe C¹ sur [a,b], alors (uv)′=u′v+uv′. En intégrant, on obtient ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ₐᵇ−∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx. Le terme entre crochets signifie u(b)v(b)−u(a)v(a).
Faire un choix utile
On cherche à simplifier u en la dérivant et à reconnaître une primitive de v′. Pour un polynôme multiplié par exp(x), choisir le polynôme comme u réduit son degré. Pour ln(x), le choix u=ln(x) et v′=1 est utile sur un intervalle inclus dans ]0,+∞[. Ce choix est une méthode, pas une obligation universelle.
Vérifier le résultat
Le signe moins fait partie de la formule. Garder les bornes jusqu’au bout et vérifier le domaine, en particulier pour ln. Pour une primitive, on ajoute une constante ; pour une intégrale définie, on donne un nombre. On peut vérifier une primitive obtenue en la dérivant.
Exemple guidé
Calculer I=∫₀¹ x exp(x) dx.
- Choisir u(x)=x et v′(x)=exp(x), donc u′(x)=1 et v(x)=exp(x).
- I=[x exp(x)]₀¹−∫₀¹ exp(x) dx.
- Le terme de bord vaut e ; l’intégrale restante vaut e−1.
- Ainsi I=e−(e−1)=1. Une primitive de x exp(x) est (x−1)exp(x), ce que la dérivation confirme.
À vous de jouer
Exercice 1
Calculer ∫₁ᵉ ln(x) dx.
Un indice
Choisir u=ln(x) et v′=1.
Voir la correction
On obtient [x ln(x)−x]₁ᵉ=(e−e)−(0−1)=1. Le logarithme est bien défini sur [1,e].
Exercice 2
Calculer ∫₀¹ x cos(x) dx, les angles étant en radians.
Un indice
Prendre u=x et v′=cos(x).
Voir la correction
L’intégrale vaut [x sin(x)+cos(x)]₀¹=sin(1)+cos(1)−1.
Exercice 3
Calculer ∫₀¹ x exp(2x) dx.
Un indice
Une primitive de exp(2x) est exp(2x)/2.
Voir la correction
Le résultat est [x exp(2x)/2]₀¹−[exp(2x)/4]₀¹=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4.
Les erreurs à éviter
- Ne pas oublier le signe moins entre le terme de bord et la seconde intégrale.
- Une primitive de exp(2x) n’est pas exp(2x) mais exp(2x)/2.
- Évaluer aussi la borne inférieure, même lorsqu’elle vaut 0.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.