في النهاية ستتمكن من
- استخراج العلاقة من مشتقة جداء.
- اختيار u ودالة أصلية v للدالة v′.
- حساب حد الجداء عند الطرفين.
قبل أن تبدأ
اشتقاق جداء والدوال الأصلية المعتادة وحساب التكامل المحدد.
افهم
علاقة ناتجة عن الجداء
إذا كانت u وv من الصنف C¹ على [a,b]، فإن (uv)′=u′v+uv′. بالتكامل نحصل على ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ₐᵇ−∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx. يعني الحد بين المعقوفتين u(b)v(b)−u(a)v(a).
اختيار مفيد
نبحث عن u تبسطها المشتقة وعن دالة أصلية معروفة لv′. لجداء حدودية في exp(x)، يخفض اختيار الحدودية دالة u درجتها. وللدالة ln(x)، يفيد الاختيار u=ln(x) وv′=1 على مجال ضمن ]0,+∞[. هذا الاختيار طريقة وليس قاعدة إلزامية عامة.
التحقق من النتيجة
الإشارة السالبة جزء من العلاقة. نحافظ على الحدين حتى النهاية ونتحقق من مجموعة التعريف خصوصاً للوغاريتم. نضيف ثابتاً عند تحديد دالة أصلية، أما التكامل المحدد فنتيجته عدد. يمكن التحقق من دالة أصلية باشتقاقها.
مثال محلول خطوة بخطوة
احسب I=∫₀¹ x exp(x) dx.
- نختار u(x)=x وv′(x)=exp(x)، ومنه u′(x)=1 وv(x)=exp(x).
- I=[x exp(x)]₀¹−∫₀¹ exp(x) dx.
- حد الجداء يساوي e والتكامل المتبقي e−1.
- إذن I=e−(e−1)=1. دالة أصلية للدالة x exp(x) هي (x−1)exp(x)، وهو ما يؤكده الاشتقاق.
حان دورك
تمرين 1
احسب ∫₁ᵉ ln(x) dx.
تلميح
اختر u=ln(x) وv′=1.
عرض التصحيح
نحصل على [x ln(x)−x]₁ᵉ=(e−e)−(0−1)=1. اللوغاريتم معرف على [1,e].
تمرين 2
احسب ∫₀¹ x cos(x) dx مع قياس الزوايا بالراديان.
تلميح
خذ u=x وv′=cos(x).
عرض التصحيح
يساوي التكامل [x sin(x)+cos(x)]₀¹=sin(1)+cos(1)−1.
تمرين 3
احسب ∫₀¹ x exp(2x) dx.
تلميح
دالة أصلية للدالة exp(2x) هي exp(2x)/2.
عرض التصحيح
النتيجة [x exp(2x)/2]₀¹−[exp(2x)/4]₀¹=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا تنس الإشارة السالبة بين حد الجداء والتكامل الثاني.
- الدالة الأصلية لexp(2x) هي exp(2x)/2 وليست exp(2x).
- احسب الحد السفلي أيضاً ولو كان 0.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.