في النهاية ستتمكن من
- التحقق من حل بالتعويض.
- حل معادلة خطية بمعاملات ثابتة.
- تفسير حالة توازن وشرط بدئي.
قبل أن تبدأ
الاشتقاق والدالة الأسية وحل معادلة خطية.
افهم
معادلة مجهولها دالة
تربط المعادلة التفاضلية دالة مجهولة بمشتقاتها. لا نبحث في y′=ay+b عن عدد بل عن عائلة دوال على مجال. للتحقق من دالة مقترحة نحسب مشتقتها ثم نعوض في المعادلة مع احترام المتغير والوحدات.
طرح حل ثابت
إذا كان a≠0، فحل التوازن الثابت ℓ=−b/a. بوضع z=y−ℓ نجد z′=az. إذن جميع الحلول y(t)=ℓ+C exp(at) حيث C حقيقي. إذا كان a=0 تصبح المعادلة y′=b وحلولها y(t)=bt+C؛ لا نقسم على صفر.
التحديد والتفسير
يعطي الشرط y(0)=y₀ العلاقة C=y₀−ℓ. إذا كان a<0 فإن exp(at) تتجه إلى 0 عندما t→+∞، فتتجه y إلى ℓ. إذا كان a>0 يبتعد كل حل غير ثابت عن ℓ. وحدة a هي مقلوب وحدة الزمن حتى يكون at دون بعد.
مثال محلول خطوة بخطوة
حل y′=−2y+6 مع y(0)=1 ثم احسب y(1). الزمن بالثانية.
- قيمة التوازن تحقق −2ℓ+6=0، ومنه ℓ=3.
- عائلة الحلول y(t)=3+C exp(−2t).
- يعطي الشرط البدئي 1=3+C، أي C=−2.
- y(t)=3−2exp(−2t) وy(1)≈2,7293. المشتقة 4exp(−2t) موجبة، فتتزايد y نحو 3 دون بلوغها في زمن منته.
حان دورك
تمرين 1
تحقق أن y(t)=4exp(3t) تحقق y′=3y.
تلميح
قارن المشتقة بثلاثة أضعاف الدالة.
عرض التصحيح
y′(t)=12exp(3t)=3y(t). يصح التحقق لكل t حقيقي.
تمرين 2
حل y′=−0,5y مع y(0)=8.
تلميح
استعمل y(t)=C exp(at).
عرض التصحيح
y(t)=8exp(−0,5t). عندما t→+∞ تكون النهاية 0.
تمرين 3
حل y′=2 مع y(0)=−1.
تلميح
هنا a=0؛ حدد دالة أصلية لدالة ثابتة.
عرض التصحيح
y(t)=2t+C وC=−1، إذن y(t)=2t−1.
أخطاء ينبغي تجنبها
- الحل دالة وليس قيمة عددية فقط.
- لا تنس الثابت قبل استعمال الشرط البدئي.
- عالج حالة a=0 بشكل منفصل.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من Dars +. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.