À la fin, vous saurez
- Vérifier une solution par substitution.
- Résoudre une équation linéaire à coefficients constants.
- Interpréter un état d’équilibre et une condition initiale.
Avant de commencer
Dérivation, fonction exponentielle et résolution d’une équation linéaire.
Comprendre
Une équation sur une fonction
Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Résoudre y′=ay+b ne consiste pas à chercher un nombre mais une famille de fonctions sur un intervalle. Pour vérifier une candidate, calculer sa dérivée puis la remplacer dans l’équation en respectant la variable et les unités.
Retirer une solution constante
Si a≠0, la solution constante d’équilibre est ℓ=−b/a. Poser z=y−ℓ donne z′=az. Ainsi toutes les solutions sont y(t)=ℓ+C exp(at), avec C réel. Si a=0, l’équation devient y′=b et ses solutions sont y(t)=bt+C : ne pas diviser par zéro.
Choisir et interpréter
La condition y(0)=y₀ donne C=y₀−ℓ. Pour a<0, exp(at) tend vers 0 quand t→+∞, donc y tend vers ℓ. Pour a>0, une solution non constante s’éloigne de ℓ. Le coefficient a a l’unité inverse de celle du temps pour que at soit sans dimension.
Exemple guidé
Résoudre y′=−2y+6 avec y(0)=1, puis calculer y(1). Le temps est exprimé en secondes.
- La valeur d’équilibre satisfait −2ℓ+6=0, donc ℓ=3.
- La famille des solutions est y(t)=3+C exp(−2t).
- La condition initiale donne 1=3+C, donc C=−2.
- y(t)=3−2exp(−2t) et y(1)≈2,7293. La dérivée 4exp(−2t) est positive : y croît vers 3 sans l’atteindre à temps fini.
À vous de jouer
Exercice 1
Vérifier que y(t)=4exp(3t) satisfait y′=3y.
Un indice
Comparer la dérivée à trois fois la fonction.
Voir la correction
y′(t)=12exp(3t)=3y(t). La vérification est valable pour tout t réel.
Exercice 2
Résoudre y′=−0,5y avec y(0)=8.
Un indice
Utiliser y(t)=C exp(at).
Voir la correction
y(t)=8exp(−0,5t). Pour t→+∞, la limite est 0.
Exercice 3
Résoudre y′=2 avec y(0)=−1.
Un indice
Ici a=0 ; intégrer une constante.
Voir la correction
y(t)=2t+C et C=−1, donc y(t)=2t−1.
Les erreurs à éviter
- Une solution est une fonction, pas seulement une valeur numérique.
- Ne pas oublier la constante avant d’utiliser la condition initiale.
- Traiter a=0 séparément.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.