À la fin, vous saurez
- Distinguer nombre de noyaux et activité.
- Utiliser une demi-vie.
- Déterminer une durée par logarithme.
Avant de commencer
Fonction exponentielle, logarithme népérien et conversions de durée.
Comprendre
Un phénomène aléatoire, un modèle statistique
La désintégration d’un noyau isolé est aléatoire. Pour une grande population d’un même radionucléide, sans apport et sans production de ce nucléide par d’autres désintégrations, le modèle moyen est N(t)=N₀ exp(−λt), avec λ>0. Il ne prédit pas l’instant exact de désintégration d’un noyau individuel.
Activité et unités
L’activité A=−dN/dt=λN mesure le nombre moyen de désintégrations par seconde. Elle s’exprime en becquerels : 1 Bq=1 s⁻¹. Si λ est en s⁻¹, t doit être en secondes. L’activité suit A(t)=A₀ exp(−λt) pour ce modèle simple.
Demi-vie et limites
La demi-vie T½ vérifie N(T½)=N₀/2, donc T½=ln(2)/λ. Après n demi-vies, N/N₀=A/A₀=1/2ⁿ. La population ne devient pas mathématiquement nulle après un nombre fini de demi-vies dans ce modèle continu. Une activité seule ne détermine ni dose reçue ni risque : le rayonnement, la géométrie et l’exposition interviennent aussi.
Exemple guidé
Un échantillon a A₀=800 Bq et une demi-vie de 6,0 h. Trouver son activité après 18 h puis la durée pour atteindre 100 Bq.
- 18 h correspondent à 18/6=3 demi-vies.
- A(18 h)=800/2³=100 Bq.
- Pour retrouver la durée par le logarithme, λ=ln(2)/6 en h⁻¹ et t=ln(800/100)/λ.
- Comme ln(8)=3ln(2), on obtient t=18 h. Pour exprimer λ en s⁻¹, convertir 6 h en 21600 s.
À vous de jouer
Exercice 1
Une demi-vie vaut 10 jours. Quelle fraction reste après 20 jours ?
Un indice
Compter les demi-vies.
Voir la correction
Deux demi-vies se sont écoulées ; la fraction restante est 1/4=25 %.
Exercice 2
Pour λ=0,020 s⁻¹ et N=5000 noyaux dans le modèle moyen, calculer A.
Un indice
Utiliser A=λN.
Voir la correction
A=0,020×5000=100 Bq.
Exercice 3
Combien de demi-vies faut-il pour passer de 1600 à 200 Bq ?
Un indice
Former le rapport des activités.
Voir la correction
1600/200=8=2³. Il faut trois demi-vies.
Les erreurs à éviter
- La demi-vie n’est pas la durée au bout de laquelle tous les noyaux ont disparu.
- Ne pas mélanger heures et secondes dans λt.
- Ne pas confondre activité en Bq et dose absorbée.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars +. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Physique ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.